Leí que si tenemos una utilidad cuasilineal para todos los consumidores, cualquier asignación óptima de Pareto maximiza la suma de los niveles de utilidad de todos los consumidores. Es decir:
¿Alguien puede proporcionar una prueba de esto? Cualquier ayuda sería muy apreciada!
no sé si este es el camino correcto, pero por la propiedad estrictamente creciente de , las preferencias satisfacen la no saciedad local, lo que implica que satisfacen el primer teorema del bienestar. Ahora, si pudiera averiguar si todas las asignaciones óptimas de Pareto son equilibrios competitivos con la utilidad cuasilineal, ¡podría estar en algo!
microeconomics
pareto-efficiency
proof
DornerA
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Respuestas:
Editar: Los casos de borde apestan; ver comentarios. Ver también MWG Capítulo 10 sección C, D.
Supongamos que resuelve(x⃗ ∗,m⃗ ∗)
Pero no es Pareto óptimo.
Lo cual es una contradicción. Si tenemos una solución al problema de maximización de la utilidad, debe ser el óptimo de Pareto.
(Tenga en cuenta que esto viene de las propiedades continuas y crecientes de )ϕ(⋅)
Supongamos que es una asignación óptima de Pareto factible, pero no resuelve(x⃗ ∗,m⃗ ∗)
Como tratamos a como numerario y aumenta estrictamente, sabemos que no está saciado localmente. La asignación de Pareto debería ser factible.ϕ i ( ⋅ ) u i ( ⋅ )mi ϕi(⋅) ui(⋅)
Si esto es cierto porque esta asignación alternativa simplemente le da a un individuo más de , para todo lo demás igual, entonces la asignación alternativa es inviable. Entonces tendríamos una contradicción.x
Si esto es cierto porque en la asignación alternativa, a otra persona se le asigna más solo a otra persona se le asigna menos, entonces la asignación original no sería óptima de Pareto. Supongamos que lo fuera. Si tomó la asignación original y cambió en el camino de la nueva asignación, entonces necesitaría una operación correspondiente en el bien numerario, , para mantener a quien está perdiendo al menos en el mismo nivel de utilidad. Pero las transacciones en el bien del numerario nunca pueden cambiar la utilidad agregada sumada . De la asignación original, si puede cambiar porx m x m x m xx x m x m x y mejorar a alguien sin lastimar a nadie, no estaba en un óptimo de Pareto, y si no puede cambiar por para mejorar a alguien, no puede aumentar la utilidad agregada sumada, lo que significa que la asignación original era solución al problema de maximización.m x
Esta lógica se aplica sin importar cómo reorganice entre varias personas.x
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No creo que sea cierto en una economía de intercambio pura estándar a la que se refiere la pregunta. Considere el siguiente contraejemplo: suponga
u 1 ( x 1 , m 1 ) = √I={1,2} y y .u2(x2,m2)=√u1(x1,m1)=x1−−√+m1 u2(x2,m2)=x2−−√+m2
y dejar que el conjunto de asignaciones factibles sea
Observe que la asignación es eficiente de Pareto, pero no maximiza la suma de utilidades. La razón es que la asignación produce la suma más alta.a 2 = ( ( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) )a1=((x1,m1),(x2,m2))=((2,2),(0,0)) a2=((1,1),(1,1))
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Creo que se está refiriendo al siguiente resultado: cualquier asignación de PE maximiza , pero es difícil saberlo con precisión ya que no es específico sobre factibilidad.∑Ii=1ϕi(xi)
Déjame ser más específico. Para cada , . Una asignación es . El conjunto de asignaciones factibles es . La utilidad de de es , donde está aumentando estrictamente.( x i , m i ) ∈ R + × R a = ( x i , m i ) I i = 1 F = { ( x i , m i ) I i = 1 | ( x i , m i ) ∈ R + × Ri∈{1,…,I} (xi,mi)∈R+×R a=(xi,mi)Ii=1 i ∈ { 1 , ... , I } a ∈ F u i ( a ) = m i + ϕ i ( x i ) ϕF={(xi,mi)Ii=1|(xi,mi)∈R+×R∀i∈{1,…,I},∑Ii=1xi≤cx,∑Ii=1mi≤cm} i∈{1,…,I} a∈F ui(a)=mi+ϕi(xi) ϕi
La definición de asignación de PE es estándar: es PE si tal que para todos y para algunos .∄ a ′ ∈ F u i ( a ′ ) ≥ u i ( a ) i u i ( a ′ ) > u i ( a ) ia∈F ∄a′∈F ui(a′)≥ui(a) i ui(a′)>ui(a) i
Ahora afirmo que si es PE, entonces es una solución para , o, haciendo la maximización con respecto a s explícito, st .a max a ∈ F I ∑ i = 1 ϕ i ( x i ) x i max ( x i ) I i = 1 ∈ R I + I ∑ i = 1 ϕ i ( x i ) ∑ I i = 1 x i ≤ c xa a maxa∈F∑i=1Iϕi(xi) xi max(xi)Ii=1∈RI+∑i=1Iϕi(xi) ∑Ii=1xi≤cx
No voy a probar el reclamo aquí, pero la idea clave es simple y es la siguiente. Suponga que es PE pero no resuelve el problema de maximización. Entonces podemos encontrar otro factible tal que . Es cierto que en , en relación con , los agentes están peor, pero podemos usar el dinero, s, para que estén igualmente bien como debajo de , y aún así quedarnos con algo de dinero ya que aumentamos la suma de la utilidad proveniente de s. a ′ ∑ I i = 1 ϕ i ( x ′ i ) > ∑ I i = 1 ϕ i ( x ∗ i ) a ′ a ∗ m i a ∗ x ia∗ a′ ∑Ii=1ϕi(x′i)>∑Ii=1ϕi(x∗i) a′ a∗ mi a∗ xi
Otra forma de decir esto es que la suma de la utilidad de es . Ahora cualquier asignación no derrochadora tendrá el primer término idéntico.∑ I i = 1 m i + ∑ I i = 1 ϕ i ( x i ) a ∈ Fa∈F ∑Ii=1mi+∑Ii=1ϕi(xi) a∈F
Otra forma de pensar acerca de esto es que s determina el tamaño del pastel y el dinero, s, determina la redistribución. Por cuasi-linealidad, la disminución de en una unidad y el aumento de en una unidad deja las hojas sin cambios. Esto no es cierto para y . m i m i m j m i + m j x i x jxi mi mi mj mi+mj xi xj
Esto también implica que cualquier que resuelva el problema de maximización es PE.a∈F
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