Esta pregunta proviene de este sitio web que leo con frecuencia.
Dos jugadores van a un nuevo programa de juegos llamado "Mayor número de victorias". Los dos entran en cabinas separadas, y cada uno presiona un botón, y un número aleatorio entre cero y uno aparece en la pantalla. (En este punto, ninguno conoce el número del otro, pero sí saben que los números se eligen de una distribución uniforme estándar). Pueden elegir mantener ese primer número o presionar el botón nuevamente para descartar el primer número y obtener un segundo número aleatorio, que deben guardar. Luego, salen de sus cabinas y ven el número final de cada jugador en la pared. El lujoso gran premio, una caja llena de lingotes de oro, se otorga al jugador que mantuvo el número más alto. ¿Qué número es el límite óptimo para que los jugadores descarten su primer número y elijan otro? Dicho de otra manera, dentro de qué rango deberían elegir mantener el primer número,
Este es un problema de subasta muy extraño con jugadores simétricos (también supongo que los jugadores son neutrales al riesgo) o un juego de lotería / teoría de juegos muy extraño.
¿Cómo abordarías matemáticamente esta pregunta y qué respuesta obtendrías? No hay ningún premio para que obtenga la respuesta correcta al enigma del sitio, solo tengo curiosidad. Mi intuición me dice que el límite óptimo es 0.5, ya que tiene una probabilidad de 50-50 de ser mayor o menor que el número de su oponente, independientemente de si él / ella repite su número aleatorio o no, pero no estoy seguro.
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Respuestas:
Primero solo mostraré que el 0.5 (o12 ) el punto de corte no funciona como un equilibrio simétrico, entonces puedes decidir por ti mismo si quieres pensar en el problema o leer la respuesta completa.
Denotemos los puntos de corte porCX, cy . Supongamos que ambos jugadores usan la estrategia c = 12 . Denotemos los números de jugadorX ey respectivamente porX1 ey1 y su segundo número potencial porX2 ey2 . Supongamos queX1= 23 . Al mantener esto, la probabilidad de que el jugadorX gane es
PAGS( 12≤ y1< 23) +P( y1< 12) ⋅ P( y2< 23) = 16 6+ 12⋅ 23= 12.
Esto también significa que23 esla mediana de esta distribución.
Ahora supongamos queX1= 12 . Al mantener esto, la probabilidad de que el jugadorX gane es
PAGS( y1< 12) ⋅ P( y2< 12) = 12⋅ 12= 14 4
Pero si descartaraX1= 12 tiene probabilidad
PAGS( y1< 12) ⋅ P( x2> y2) +P( y1≥ 12) ⋅ P( x2> y1) =38
de ganar. 38> 14 4 manteniendo asíx1=12 (y sus alrededores) no es óptimo, por lo tanto no puede ser un movimiento de equilibrio.
ALERTA DE SPOILER
Si el jugadory tiene un límite cy jugador x dibuja x1=cy mantiene la probabilidad de que el jugador x gane es
PAGS( y1< cy) ⋅ P( y2< cy) = cy⋅ cy= c2y.
Si el jugadorX dónde descartarX1 la probabilidad de que gane es
PAGS( y1≥ cy) ⋅ P( x2> y1) + P( y1< cy) ⋅ P( x2> y2)=( 1 - cy) ⋅ ( 1 - 1 + cy2) + cy⋅ 12
Supongamos que hay un equilibrio simétrico, es decirCX= cy= c . X1 , el valor de corteC es tal que siX1= c entonces la probabilidad de ganar es igual cuandoX1 se mantiene y cuando se descarta. Esto significa que
PAGS( y1< c ) ⋅ P( y2< c )c ⋅ cC212⋅ c2+ c2- 12C=====PAGS( y1≥ c ) ⋅ P( x2> y1) + P( y1< c ) ⋅ P( x2> y2)( 1 - c ) ⋅ ( 1 - 1 + c2) +c⋅ 1212- c + c22+ c20 05 5-√- 12.
(No creo que existan otros equilibrios, pero no lo probé).
Dado que la probabilidad de ganar es continua en el valor de
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Supongamos que la persona 1 elige un límite de y la persona 2 elige un límite de c 2 , con c 2 ≥ c 1 . Sea p 1 ( x ) la probabilidad de que el número final de la persona 1 no sea mayor que x . p 1 ( x ) es igual a c 1 x si x < c 1 y c 1 x + x - c 1 de lo contrario. Definir p 2 (C1 C2 C2≥ c1 pags1( x ) X pags1( x ) C1X x < c1 C1x + x - c1 manera similar. Ahora trace p 2 ( x ) contra p 1 ( x ) en un diagrama paramétrico para 0 ≤ x ≤ 1 . El resultado son tres segmentos de línea:pags2( x ) pags2( x ) pags1( x ) 0 ≤ x ≤ 1
. Para que haya un equilibrio estable, ambas derivadas parciales de este deben ser cero, es decir,1-c2-2c1c212+ 12( c2- c1) ( c1C2+ c2- 1 )
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