¿Cuál es la probabilidad de que una función booleana aleatoria tenga un grupo trivial de automorfismo?

Dada una función booleana , tenemos el grupo de automorfismo .A u t ( f ) = { σ ∈ S n ∣ ∀ x , f ( σ ( x ) ) = f ( x ) $f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

¿Hay algún conocido en ? ¿Hay algo conocido para las cantidades de la forma para algún grupo ?P r f ( G ≤ A u t ( f ) ) $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Si. A su primera pregunta, la probabilidad va a cero doble exponencialmente rápido. Esto se puede calcular de la siguiente manera. Para cada permutación , podemos limitar la probabilidad de que π ∈ A u t ( f ) , es decir, que f ( π ( x ) ) = f ( x ) para todo x ∈ { 0 , 1 } n . Considere las órbitas de π que actúan sobre { 0 , 1 } n . Tenemos que $\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$es un automorfismo de si f es constante en las órbitas π . Si π no es trivial, tiene al menos una órbita en [ n ] que no es un singleton y, por lo tanto, al menos en órbita en { 0 , 1 } n que no es un singleton. Suponga que la órbita tiene k elementos en ella. La probabilidad de que f sea ​​constante en esa órbita es, por lo tanto, precisamente 2 - ( k - 1 ) . Supongamos que π actuando sobre [ n ] tiene$f$$f$$\pi$$\pi$$[n]$$\{0,1\}^n$$k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$ puntos fijos, c 2 ciclos de longitud 2, etc. (en particular ∑ n i = 1 i c i = n ). Entonces, el número de puntos de { 0 , 1 } n fijado por π es precisamente 2 ∑ i c i . Todos los puntos restantes de { 0 , 1 } n están en órbitas no triviales de π . Al límite superior la probabilidad de que π ∈ A u t $c_1$$c_2$$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$ , tenga en cuenta que la mejor posibilidad es si todos los elementos no fijos de { 0 , 1 } n vienen en órbitas de tamaño 2. Entonces obtenemos que P r ( π ∈ A u t ( f ) ) ≤ ( 1 / 2 ) M / 2 donde M = 2 n - 2 ∑ i c i . Ahora, queremos un límite inferior en M , lo que significa que queremos un límite superior en ∑ i $\pi \in Aut(f)$$\{0,1\}^n$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$ . Desde pi ≠ 1 , el mayor Σ c i puedo ser es cuando c 1 = n - 2 y c 2 = 1 , es decir, Σ c i = n - 1 y M = 2 n - 2 n - 1 = 2 n - 1 , entonces M ≥ 2 n - 1 y P r ( π $\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$$\sum c_i = n-1$$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$ . Ahora aplique el enlace de unión: | S n | = n ! , entonces P r ( ( ∃ π ∈ S n ) [ π ≠ 1  y  π ∈ A u t ( f ) ] ) ≤ n ! 2 - 2 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$$|S_n| = n!$ , que es básicamente2nlgn- 2 n - 2 →0comon→∞, bastante rápido.$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

Para cualquier puede usar un razonamiento similar, pero la probabilidad también irá a cero muy rápidamente.$G \leq S_n$