¿Todas las funciones cuyo peso de Fourier se concentra en los conjuntos de pequeño tamaño se calculan mediante circuitos AC0?

18

¿Todas las funciones cuyo peso de Fourier se concentra en los conjuntos de tamaño pequeño (o términos con bajo grado) se calculan mediante circuitos ?AC0

Stattrav
fuente
Esta pregunta suena interesante, aunque me falta algo de antecedentes en el análisis de Fourier. Agradecería referencias a literatura relacionada.
Markus
55
@Markus: este libro 2.0 de Ryan O'Donnell es una excelente referencia: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod
Alessandro Cosentino
casi lo contrario a Linial, Mansour, Nissan 1993 ? resultado de Aaronson, ¿el contraejemplo de Linial-Nissan generalizado parece cercano? pero tengo que ser una forma de generalizar el resultado de 1993 de alguna manera ... tal vez a lo grande ...
vzn
otra idea similar en lugar de AC ^ 0, más difícil de refutar, sería la profundidad ilimitada pero los circuitos limitados de la puerta total delimitados por alguna función "pequeña", por ejemplo polinomio, etc. También afaik la relación entre circuitos monótonos y coeficientes de Fourier no es tan conocida ...?
vzn
1
ver también independencia pollogarítmica engaña a los circuitos AC ^ 0 por braverman
vzn

Respuestas:

19

No. Considere la siguiente función en : f ( x ) = x 0x n - {0,1}n Claramente esta función es difícil para AC0. Por otro lado, la función es casi constante, por lo que casi todo su espectro de Fourier está en el primer nivel.

f(x)=x0xnn1(xnnxn1).

Si desea un contraejemplo equilibrado, considere Esta función es casi siempre igual ax0, por lo que casi todo su espectro de Fourier está en los dos primeros niveles.

g(x)=x0[x1xnn1(xnnxn1)].
x0
Yuval Filmus
fuente
3
¿Tiene algún ejemplo sólido en el que la función no se pueda aproximar en AC0?
MCH
2
Una función concentrada en los primeros niveles de siempre está cerca de una función que depende de las entradas de O ( 1 ) , por lo que si solo estamos interesados ​​en los niveles de O ( 1 ) , entonces no hay ejemplos sólidos. O(1)O(1)O(1)
Yuval Filmus
@YuvalFilmus ¿Qué significa el nivel del espectro de Fourier? ¿Por qué esta función es difícil para ? AC0
@Arul Un nivel de Fourier consta de todos los coeficientes de Fourier correspondientes a conjuntos de un tamaño determinado. Pensamos en ellos como ordenados en orden creciente de tamaño. En cuanto a por qué esta función es difícil para AC0, este es un ejercicio. Sugerencia: la paridad es difícil para AC0.
Yuval Filmus
7

Hay varias formas de entender la pregunta de acuerdo con el significado preciso de "tamaño pequeño" y "concentrado".

1o(1)S1o(1)AC0

2) Existe un teorema de Bourgain de que si la concentración está muy por encima de la de la función mayoritaria, entonces la función es aproximadamente una Junta y, por lo tanto, depende de las variables O (1).

f^2(S)AC0polylog(n)

O(logn)AC0

O(polylog(n))npolylog(n)

Gil Kalai
fuente