¿Podemos probar un resultado de concentración aguda en la suma de variables aleatorias exponenciales independientes, es decir, Sea sean variables aleatorias independientes tales como . Deje . ¿Podemos probar los límites de la forma . Esto se sigue directamente si usamos la forma de varianza de los límites de chernoff y, por lo tanto, creo que es cierto, pero los límites que leí requieren límites o tienen cierta dependencia de los límites de las variables. ¿Podría alguien señalarme una prueba de lo anterior?
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Respuestas:
Para concreción, digamos que el pdf del rv esXi
Esta es la distribución de Laplace, o la distribución doble exponencial. Su varianza es . El cdf es2λ2i
El momento que genera la función de esXi
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Para la distribución de Laplace, si usa el límite de Bernoulli puede escribir
Tenga en cuenta que estos límites se mantienen para valores sin restricciones de y . Los límites a la derecha muestran los dos posibles regímenes. Para valores pequeños de obtenemos una concentración 'normal' , mientras que para valores grandes de obtenemos , que también es el CDF para una sola variable distribuida de Laplace.t λi t e−t2/2 t ≈e−2√t
El límite permite interpolar entre las dos situaciones, pero sospecho que en casi todos los casos uno estará firmemente en el campo grande o pequeño .1−1+2t2−−−−−−√ t t
Para la distribución exponencial, las mismas técnicas nos dan donde . Por lo tanto, Así que todavía obtienes algo ligeramente normal, pero con lugar de como podríamos haber esperado. No sé si es posible obtener un límite en términos de la varianza. Podría intentar estudiar , pero no parece fácil trabajar con él.Eeu∑iXi≤11−uμ μ=∑i1/λi
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