Suma de variables aleatorias exponenciales independientes

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¿Podemos probar un resultado de concentración aguda en la suma de variables aleatorias exponenciales independientes, es decir, Sea X1,Xr sean variables aleatorias independientes tales como Pr(Xi<x)=1ex/λi . Deje Z=Xi . ¿Podemos probar los límites de la forma Pr(|ZμZ|>t)<et2/(λi)2 . Esto se sigue directamente si usamos la forma de varianza de los límites de chernoff y, por lo tanto, creo que es cierto, pero los límites que leí requieren límites o tienen cierta dependencia de los límites de las variables. ¿Podría alguien señalarme una prueba de lo anterior?

Rocín
fuente
simplemente siga la prueba de chernoff: es fácil vincular el momento exponencial de las variables aleatorias exponenciales.
Sasho Nikolov
He tratado de repetir la prueba de chernoff. Lo hice para el caso más simple cuando todo λi=λ . Puedo obtener el tipo de relación que estoy buscando en una condición leve de t<nλ . ¿Tal condición surge de forma natural o se debe a que mi solución no es tan buena?
NAg
3
Consulte Lemma 2.8 aquí eprint.iacr.org/2010/076.pdf
Sasho Nikolov
Sí, esto tiene sentido. Incluso en su lema que tienen una condición de ser lo suficientemente pequeña. Bien, entonces mi solución parece correcta. Muchas gracias por los enlaces y la sugerencia. t
NAg
1
Pr[Xi<x]=eλixxPr[Xi<x]=1eλixλi2

Respuestas:

7

Para concreción, digamos que el pdf del rv esXi

p(Xi=x)=12λieλi|x|.

Esta es la distribución de Laplace, o la distribución doble exponencial. Su varianza es . El cdf es2λi2

Pr[Xix]=112eλix
para .x0

El momento que genera la función de esXi

E euXi=11u2/λi2,
para . Usando este hecho y el método de momento exponencial que es estándar en la prueba de los límites de Chernoff, obtienes eso para y , la siguiente desigualdad es válida|u|<λiX=iXiσ2=2iλi2

Pr[X>tσ]<et2/4,
siempre que . Puede encontrar una derivación detallada en la prueba del Lema 2.8 de este documento .t2σminiλi

Sasho Nikolov
fuente
Muchas gracias por la respuesta. Sin embargo, en mi aplicación no es necesariamente cierto que . Sin embargo, uno esperaría una concentración aún mayor en caso de que . Podemos obtener dicho resultado si no usamos la aproximación de que restringe el rango de en la prueba pero el análisis de eso se vuelve inmanejable en el caso de diferentes . ¿Alguna sugerencia en ese frente? t2σminiλit>2σminiλi1/(1x)ecxtλis
NAg
esto va a ser un movimiento de mano vigoroso, pero espero que valores tan grandes de sean más probables cuando solo un pequeño número de excede la mediana depor mucho pero las variables exponenciales dobles tienen una cola más pesada que las gaussianas, y un pequeño número de ellas no puede concentrarse tan fuertementeXXi|Xi|
Sasho Nikolov
2
Me estoy dando cuenta de que lo que escribí anteriormente no está claro: espero que esa salida en la cola parezca a la cola de otro rv que es la suma de un pequeño número de rv doble exponencial. La cola de tal no debería ser subgaussiano. XXX
Sasho Nikolov
3

Para la distribución de Laplace, si usa el límite de Bernoulli puede escribir

EeuiXi=i11u2/λi211u2σ2/2,
donde . Luego, el método clásico de Chernoff para darσ2=2iλi2

Pr[iXitσ]1+1+2t22e11+2t2{(et/2+1)e2tet2/2+t4/8.

Tenga en cuenta que estos límites se mantienen para valores sin restricciones de y . Los límites a la derecha muestran los dos posibles regímenes. Para valores pequeños de obtenemos una concentración 'normal' , mientras que para valores grandes de obtenemos , que también es el CDF para una sola variable distribuida de Laplace.tλitet2/2te2t

El límite permite interpolar entre las dos situaciones, pero sospecho que en casi todos los casos uno estará firmemente en el campo grande o pequeño .11+2t2tt

Para la distribución exponencial, las mismas técnicas nos dan donde . Por lo tanto, Así que todavía obtienes algo ligeramente normal, pero con lugar de como podríamos haber esperado. No sé si es posible obtener un límite en términos de la varianza. Podría intentar estudiar , pero no parece fácil trabajar con él.EeuiXi11uμμ=i1/λi

Pr[(iXi)μtμ](t+1)etet2/2+t3/3.
tμtσEeu(Xiμ)2
Thomas Ahle
fuente
No tengo tiempo para resolver los detalles, pero estoy 99.9% seguro de que uno puede obtener un límite para variables aleatorias distribuidas exponencialmente que dependen de la varianza. Su límite en el momento que genera la función parece excesivamente suelto.
Warren Schudy
@Warren Schudy, ¿cuál sería tu enfoque?
Thomas Ahle
Veo dos enfoques obvios: 1. Parece que debería funcionar el segundo enlace enumerado en en.wikipedia.org/wiki/… . 2. Encuentre un límite más estricto en la función generadora de momentos.
Warren Schudy
@WarrenSchudy El límite de Bernstein da , pero solo para . Supongo que esto es similar a la respuesta de Sasho. Pr[iXitσ]et2/2tσminiλi/2
Thomas Ahle
Es inevitable que los límites de estilo gaussiano se detengan en algún momento. Incluso una sola variable aleatoria distribuida exponencialmente tiene colas más gruesas que cualquier gaussiana.
Warren Schudy