Es bien sabido que muchos parámetros importantes del gráfico muestran una concentración (fuerte) en gráficos aleatorios, al menos en algún rango de la probabilidad de borde. Algunos ejemplos típicos son el número cromático, la camarilla máxima, el conjunto independiente máximo, la coincidencia máxima, el número de dominación, el número de copias de un subgrafo fijo, el diámetro, el grado máximo, el número de elección (número de coloración de la lista), número Lovasz , ancho del árbol etc.
Pregunta: ¿Cuáles son las excepciones, es decir, los parámetros de gráficos significativos que no se concentran en gráficos aleatorios?
Editar. Una posible definición de concentración es esta:
Deje que sea un parámetro de gráfico en gráficos aleatorios de vértices. Lo llamamos concentrado , si por cada , mantiene que La concentración es fuerte , si la probabilidad se acerca a 1 a una tasa exponencial. Pero a veces fuerte se usa en un sentido diferente, refiriéndose al hecho de que la convergencia sigue siendo cierta con un intervalo de contracción, produciendo un rango posiblemente muy estrecho. Por ejemplo, si X_n es el grado mínimo, entonces, para algún rango de la probabilidad de borde p , se puede demostrar nlim n → ∞ Pr ( ( 1 - ϵ ) E ( X n ) ≤ X n ≤ ( 1 + ϵ ) E ( X n ) ) = 1.
Nota: Se pueden construir exenciones artificiales de la regla de concentración. Por ejemplo, deje , si el gráfico tiene un número impar de aristas, y 0 en caso contrario. Esto claramente no está concentrado, pero no lo consideraría un parámetro significativo .
fuente
Respuestas:
Ver por ej.
Aldous, David. "Excursiones brownianas, gráficos aleatorios críticos y el coalescente multiplicativo". Los Anales de Probabilidad (1997): 812-854.
Nachmias, Asaf y Yuval Peres. "Gráficos aleatorios críticos: diámetro y tiempo de mezcla". Los Anales de Probabilidad 36, no. 4 (2008): 1267-1286.
Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin y Christina Goldschmidt. "El límite continuo de gráficos aleatorios críticos". Teoría de la probabilidad y campos relacionados 152, no. 3-4 (2012): 367-406.
fuente
Otros posibles candidatos para la falta de concentración incluyen la cantidad de coloraciones (particiones de los vértices en conjuntos independientes), la cantidad de combinaciones o combinaciones perfectas, o la cantidad de árboles que se extienden.
fuente