Mi pregunta es:
¿Hay algo en el medio? Por ejemplo, supongamos que mi espacio era en realidad una región limitada del plano extruido al infinito en la dirección z. (lo que a menudo se llama 2.5 dimensional). ¿Se aplican los resultados bidimensionales o los tridimensionales?
Esto surgió en las discusiones, y un argumento heurístico que dice que se comporta en dos dimensiones es que, dado que la región finita del avión se cubrirá eventualmente, la única parte no trivial de la caminata es el rayo unidimensional a lo largo de la dirección z, y así volver al origen sucederá.
¿Hay otras formas que se interpolan entre el caso bidimensional y el tridimensional?
Actualización (extraída de los comentarios): se hizo una pregunta relacionada en MO : un breve resumen es que si la caminata es dimensional (2 + ϵ), entonces el retorno incierto se deriva libremente de una serie divergente. Sin embargo, la pregunta anterior es IMO ligeramente diferente ya que estoy preguntando sobre otros tipos de formas que pueden admitir cierto retorno.
fuente
Respuestas:
Probability on Trees and Networks de Peres and Lyons menciona esto en el Capítulo 2 (página 50):
fuente
Una caminata aleatoria en 3-D en un espacio de 3x3x3 (como el cubo de un rubik) tiene una probabilidad menor de uno de regresar al origen, si la caminata comienza en el exterior; pero el de un espacio de 2x2x2 es uno, como lo es el espacio de 3x3x3 con el origen en el centro. Entonces parece que hay algunas formas intermedias, pero tal vez no muchas.
fuente