¿La norma de traza de la diferencia de dos matrices de densidad siendo una implica que estas dos matrices de densidad pueden ser diagonalizables simultáneamente?

11

Creo que la respuesta a esta pregunta es bien conocida; pero, desafortunadamente, no lo sé.

En computación cuántica, sabemos que los estados mixtos están representados por matrices de densidad. Y la norma de traza de la diferencia de dos matrices de densidad caracteriza la distinción de los dos estados mixtos correspondientes. Aquí, la definición de la norma de traza es la suma de todos los valores propios de la matriz de densidad, con un factor multiplicativo adicional 1/2 (de acuerdo con la diferencia estadística de dos distribuciones). Es bien sabido que, cuando la diferencia de dos matrices de densidad es una, entonces los dos estados mixtos correspondientes son totalmente distinguibles, mientras que cuando la diferencia es cero, los dos estados mixtos son totalmente indistinguibles.

Mi pregunta es, ¿la norma de traza de la diferencia de dos matrices de densidad siendo una implica que estas dos matrices de densidad pueden ser diagonalizables simultáneamente? Si este es el caso, entonces tomar la medida óptima para distinguir estos dos estados mixtos se comportará como distinguir dos distribuciones sobre el mismo dominio con soporte disjunto .

Jeremy Yan
fuente
¿Podría definir qué es una matriz de densidad? ¿Es solo una matriz positiva definida?
Suresh Venkat
1
@Suresh: Una matriz de densidad es una matriz semidefinita positiva, ermitaña, cuyo rastro es igual a 1.
Tsuyoshi Ito
La respuesta a la pregunta es sí, porque la distancia de rastreo es 1 implica que las dos matrices de densidad tienen soportes ortogonales.
Tsuyoshi Ito
1
@ Tsuyoshi: ¿Tal vez deberías escribir ese comentario como respuesta?
Robin Kothari
@ Robin: Claro, listo.
Tsuyoshi Ito

Respuestas:

21

Aquí hay una manera de demostrar el hecho que le interesa.

ρ0ρ1ρ0ρ1

ρ0ρ1=P0P1
P0P1ρ0ρ1P0P1

ρ0ρ1

ρ0ρ1tr=12Tr(P0)+12Tr(P1).
P0=ρ0P1=ρ1

Para llegar a esta conclusión, tenga en cuenta primero que y , entonces . Luego, tome y para que sean las proyecciones ortogonales en las imágenes de y , respectivamente. Tenemos so Ambos yTr(P0)Tr(P1)=0Tr(P0)+Tr(P1)=2Tr(P0)=Tr(P1)=1Π0Π1P0P1

Π0(ρ0ρ1)=Π0(P0P1)=P0
Tr(Π0ρ0)Tr(Π0ρ1)=1.
Tr(Π0ρ0)Tr(Π0ρ1)debe estar contenido en el intervalo [0,1], del cual concluimos que y . De estas ecuaciones no es difícil concluir y , y por lo tanto por la ecuación anterior. Un argumento similar muestra .Tr(Π0ρ0)=1Tr(Π0ρ1)=0Π0ρ0=ρ0Π0ρ1=0P0=ρ0P1=ρ1
John Watrous
fuente
1
Gracias, profesor Watrous. En realidad, aprendo todas estas normas de trazas y matrices de densidad de tus apuntes.
Jeremy Yan
2
Me gustaría agregar que todas las cosas discutidas en esta publicación se pueden encontrar en las notas de la conferencia en línea del Profesor Watours (conferencia 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info
Jeremy Yan
10

Si. Si la distancia de rastreo de dos matrices de densidad es igual a 1, entonces tienen soportes ortogonales y, por lo tanto, son diagonalizables simultáneamente.

Tsuyoshi Ito
fuente
Supongo que la respuesta es sí, pero no sé la prueba.
Jeremy Yan
1
La idea principal de la prueba que establece dos matrices de densidad es totalmente distinguible cuando la distancia de rastreo es uno, es diagonalizar la diferencia de las dos matrices de densidad; pero, ¿cómo demostrar que la misma base diagonaliza las dos matrices de densidad? Quizás estas dos matrices de densidad no son diagonales con respecto a esta base, pero su diferencia sí lo es. ¿Alguien puede dar alguna idea de prueba, o dar algunas referencias a la prueba? Gracias.
Jeremy Yan