Computación Cuántica - Postulados de QM

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Acabo de comenzar (independientemente) a aprender sobre computación cuántica en general del libro de Nielsen-Chuang.

Quería preguntar si alguien podría tratar de encontrar tiempo para ayudarme con lo que está sucediendo con el postulado de medición de la mecánica cuántica. Quiero decir, no estoy tratando de cuestionar el postulado; es solo que no entiendo cómo el valor del estado del sistema después de la medición llega a $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ .

A pesar de que es justo lo que parece decir el postulado, me resulta realmente incómodo por qué es esta expresión. No sé si lo que pregunto aquí tiene sentido, pero esto está demostrando ser algo que, por alguna razón, parece impedirme seguir leyendo,

quantum-computing quantum-information Akash Kumar
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La expresión que has escrito,

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ , no es un estado en absoluto. Supongo que querías agregar un

| ψ >

$|\psi>$ después de eso?

Robin Kothari

Si, eso es correcto. Quise agregar un

| ψ >

$|\psi>$ después de eso

Akash Kumar

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Edite su pregunta si nota errores.

Jukka Suomela

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No sé si esta es una "explicación", pero espero que sea una "descripción" útil.

Más generalmente que las mediciones proyectivas, uno siempre mide un operador . (Un proyector es un caso especial de esto.) Entonces, ¿qué significa "medir un operador"?

Bueno, los operadores a menudo corresponden a cantidades físicas 'observables'. Lo más importante en la mecánica cuántica, por ejemplo, es la energía; pero también se pueden medir (a veces indirectamente) otras cantidades, como el momento angular, los componentes z de los campos magnéticos, etc. Lo que se mide siempre da resultados de valor real --- en principio, algún resultado definitivo (por ejemplo, un electrón es en el estado 'spin +1/2' en lugar de 'spin −1/2', o en el primer nivel de energía excitado en comparación con el estado fundamental en un átomo de hidrógeno, etc.), aunque cada resultado posible a priori Se realiza con cierta probabilidad.

Asignamos cada uno de los resultados con valor real de una medición a un subespacio. La forma en que hacemos esto es describir un operador hermitiano, es decir, un operador que asocie un valor propio real a diferentes subespacios, con los subespacios sumando todo el espacio de Hilbert. Un proyector es un operador de este tipo, donde los valores reales son 0 y 1; es decir, describir que un vector pertenece a un subespacio designado (que produce un valor de 1), o su ortocomplemento (que produce un valor de 0). Estos operadores hermitianos son observables , y los espacios propios son aquellos para los cuales el observable tiene un valor "definido".

Pero, ¿qué pasa con aquellos vectores que no son vectores propios y que no tienen valores "definidos" para estos observables? Aquí está la parte no explicativa de la descripción: los proyectamos en uno de los espacios propios, para obtener un vector propio con un valor bien definido. La proyección que aplicamos se determina al azar. La distribución de probabilidad viene dada por la conocida regla de Born:

\underset{| ψ ⟩}{Pr} (E = c) = ⟨ ψ | Π_{c} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

donde es el proyector en el espacio e c de una 'cantidad observable' E (representada por un operador hermitiano ). El estado posmedido es una proyección del estado en algún espacio propio del A observable . Y entonces si es el estado de , es el estado posterior a la medición, y es el "resultado real" medido ( es decir, el espacio propio sobre el que se proyectó realmente el estado de premedición), tenemos el resultado de proporcionalidad $\Pi_c$ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ \propto Π_{c} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

por la regla de proyección que acabamos de describir. Es por eso que hay un proyector en su fórmula.

En general, el vector no es un vector unitario; porque deseamos describir el estado posterior a la medición por otro vector unitario, debemos reescalarlo por $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

cuál es la raíz cuadrada de la probabilidad con la cual el resultado ocurriría a priori . Y así, recuperamos la fórmula en su pregunta,

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(Si esta fórmula parece un poco torpe, tenga en cuenta que se ve y se siente un poco mejor si representa estados cuánticos por operadores de densidad).

Editado para agregar: lo anterior no debe interpretarse como una descripción de POVM. A "operador de valor positivo de medición" es mejor visto como que describe el valor de expectativa de diversos medible observables E _c en una colección { E _c } _{c ∈ C} .

Niel de Beaudrap
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Ofreceré una respuesta más a la pregunta de Akash Kumar, que es que (especialmente para los estudiantes) un buen enfoque para lidiar con los misterios de la mecánica cuántica es lidiar primero con los misterios de la mecánica clásica.

En este sentido, un libro de texto de inicio recomendado (que está disponible en edición de bolsillo) es "Symmetry in Mechanics: a Gentle Modern Introduction" de Stephanie Frank Singer ... que tiene la ventaja de ser breve y claro (incluyendo 120 problemas explícitamente trabajados) y, sin embargo, Abraza con confianza las principales ideas modernas de la geometría simpléctica y la teoría de grupos de Lie

Aquí el punto es que a principios del siglo XX, la mecánica cuántica y la mecánica clásica parecían dos teorías muy diferentes de la dinámica. Pero si tomamos en serio la máxima de Vladimir Arnold de que "la mecánica hamiltoniana es la geometría en el espacio de fase; el espacio de fase tiene la estructura de un múltiple simpléctico", y tomamos en serio también la máxima de Ashtekar / Schilling que "la estructura lineal que está a la vanguardia en Los tratamientos con libros de texto de la mecánica cuántica son, principalmente, solo una conveniencia técnica y los ingredientes esenciales (la variedad de estados, la estructura simpléctica y la métrica de Riemann) no comparten esta linealidad ", entonces llegamos a una mejor agradecimiento de que la tesis de Troy Schilling de 1996 se base en una sólida base matemática para afirmar que "

Este enfoque geométrico unificado de la dinámica clásica / cuántica tiene éxito principalmente al hacer que la mecánica clásica parezca más misteriosa y la mecánica cuántica parezca menos misteriosa ... y es bueno que los estudiantes sepan que este es uno (de muchos) enfoques viables para aprender ambos tipos de mecánica.

fuente

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Si aún no los ha visto, le recomiendo las notas de la conferencia de Scott Aaronson "Computación cuántica desde Demócrito" , especialmente la lección 9 . Realmente me ayudaron como no experto y he tratado de destilar su presentación a los puntos principales aquí y aquí .

En cuanto a su consulta específica, creo que ayuda a construir la intuición si puede calcular algunos ejemplos simples usando la Regla de Born y ver cómo funciona el Postulado de medición en la práctica.

Me resultó más fácil pensar que "la probabilidad de medir el i-ésimo resultado es el cuadrado de la amplitud del i-ésimo elemento del vector de estado, si realiza un cambio de base a los vectores propios del Operador".

Esto también se relaciona perfectamente con la intuición de que la mecánica cuántica es la probabilidad con números complejos, ya que los cuadrados de las amplitudes deben sumar 1.

Mientras estudies informática cuántica, también puedes consultar esta discusión sobre el algoritmo de Shor .

Mugizi Rwebangira
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Gracias a ti Mugizi ... las notas de clase de Scott Aaronson parecen muy buenas.

Akash Kumar

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Apéndice.

Después de volver a considerar la forma de su pregunta ( por ejemplo, la M ^† M en el denominador --- en oposición a un solo operador M, que es suficiente para proyectores) y volver a consultar mi copia de Nielsen y Chaung, aquí hay algunos detalles adicionales no cubierto por mi respuesta anterior. (Estoy publicando esto como una respuesta separada debido a la longitud, y porque siento que esto es incluso menos una 'explicación' que mi respuesta anterior).

Supongamos que nuestro único medio de la medición de un qubit X es indirecta: por una interacción 'débil' con una ancilla A , seguida de una medición en una . Nos gustaría poder hablar de esto como una forma de medir X en cierto sentido . ¿Cómo podríamos describir tal medida en términos de X solo? Bueno: supongamos que podemos preparar fácilmente A en el estado inicial , y realizar una unidad controlada del siguiente tipo, con X como control y A como objetivo: $|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

U = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & \sin (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - \sin (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

Luego medimos A en la base estándar (para que A ahora almacene el resultado de la medición). Esto transforma el estado de X de la siguiente manera:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

En las ecuaciones anteriores, tenga en cuenta que si el resultado de la medición es c , el estado final de X es proporcional a , donde definimos $|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

y podemos verificar que las probabilidades con las que obtenemos los resultados de la medición son en cada caso . $\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Esto está muy cerca de describir la transformación de X de la misma manera que describimos las mediciones proyectivas. Pero, ¿es este algún tipo de medida, en sentido significativo? Bueno: si podemos hacer estadísticas sobre los resultados de múltiples iteraciones de este procedimiento, y si X está inicialmente en la base estándar, notaremos que hay un sesgo cuando obtenemos el resultado '0': lo obtenemos más a menudo cuando X está inicialmente en el estado . Si podemos muestrear suficientes veces para distinguir si los resultados de la medición se distribuyen más como o , podemos determinar con alta probabilidad si el qubit está inicialmente en el estado $|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ o el estado . $|1\rangle$

La similitud de las fórmulas de probabilidades y actualización con las de medición proyectiva, y el hecho de que podemos usar estadísticas de medición para obtener información sobre el estado medido, motiva una generalización de la noción de 'medición' para incluir procedimientos como el arriba: podemos describir posibles resultados de medición por uno, dos o más operadores (que en realidad son 'operadores Kraus', objetos asociados a mapas CPTP), con resultados descritos por una regla de Born ligeramente generalizada $M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{Pr} (result = c) = ⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

donde es un operador Kraus asociado con su medición y con una regla de actualización dada por $M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

A fin de que las probabilidades a ser conservadas (de modo que con certeza al menos uno de los resultados de la medición se produce), se requiere . Esta es la forma más general en su pregunta, descrita por Nielsen y Chaung. (Nuevamente, esto se ve un poco mejor cuando se describen estados por operadores de densidad). $\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Observaciones generales.

En general, cada vez que introducimos una ancilla (o colección de ancillas) A , interactuamos un qubit (o registro de varios qubits) X unitariamente con A , y luego realizamos una medición proyectiva en A , esto da lugar a una especie de medición de X ; los operadores de medición se pueden describir mediante una colección de operadores semidefinidos positivos modo que (de nuevo para que se conserve la probabilidad). $M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

Las mediciones más generales y más débiles descritas aquí están más estrechamente relacionadas con los POVM, lo que le permite describir fácilmente las probabilidades de medición 'de manera abstracta', sin una elección explícita de las transformaciones , al proporcionar operadores y permitirle usar estos en la regla de Born para calcular las probabilidades. Como mencioné anteriormente y en mi respuesta anterior, se puede considerar que los POVM describen información estadísticamente disponible sobre un sistema. $M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

Pensar en las mediciones en términos de operadores Kraus (y en términos de un 'registro de resultados de medición' A como se mencionó anteriormente) de esta manera le permite incluir la noción de medición en la de un mapa CPTP, que es una idea que disfruto. (Sin embargo, esto realmente no cambia las cosas desde un punto de vista analítico, y no es algo de lo que deba preocuparse si aún no se siente cómodo con los mapas CPTP).

Niel de Beaudrap
fuente

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La respuesta de Niel de Beaudrap con respecto a los operadores de Kraus fue muy buena. Con respecto al libro de texto de Nielsen y Chuang, esto significa que uno debe leer el Capítulo 2, luego el Capítulo 8 y luego los capítulos intermedios.

Además, la representación del operador Kraus tiene un límite infinitesimal llamado operador Lindbladian; en términos generales, los operadores de Lindbladian son para los operadores de Kraus lo que un álgebra de Lie es para un grupo de Lie. Las notas en línea de Carlton Caves "Mapas completamente positivos, mapas positivos y la forma de Lindblad" cubren gran parte de este material.

La ventaja de trabajar exclusivamente con operadores Lindbladianos infinitesimales en lugar de operadores Kraus es que los Lindbladianos retroceden naturalmente en espacios de estado cuánticos no Hilbert; estos incluyen los espacios de estado de la red tensora que se están volviendo ubicuos en la química cuántica y la física de la materia condensada; Además, las técnicas de retroceso son omnipresentes en la teoría de cuerdas también.

Actualmente no hay ningún libro de texto que desarrolle esta descripción geométrica, no Hilbert, de la dinámica cuántica ... ¡pero debería haberla! Los libros de texto que (con las referencias anteriores) cubren en conjunto las ideas principales son John Lee "Smooth Manifolds", Frenkel y Smit "Comprender la simulación molecular: de algoritmos a aplicaciones" y Kloeden y Platen "Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas".

Es cierto que se trata de mucha lectura ... y es por eso que la dinámica cuántica geométrica no se enseña a nivel de pregrado. Es una pena, porque es muy fácil para los estudiantes de pregrado adquirir la noción fija de que el espacio de estado de los sistemas dinámicos cuánticos es un espacio vectorial lineal, aunque esto no es cierto en la mayoría de los cálculos prácticos a gran escala.

En cuanto al espacio de estado que usa la Naturaleza: nadie lo sabe: la evidencia experimental de la linealidad cuántica local (espacio tangente) es bastante fuerte, pero la evidencia de la linealidad cuántica global (espacio de Hilbert) es bastante débil. En particular, los experimentos dinámicos cuánticos de haz molecular de alta precisión, que muchos libros de texto sostienen como evidencia de linealidad cuántica, se pueden simular con la precisión relativa requerida de ~ 1/2 ^ {65} en espacios de estado de red de tensor de baja dimensión, con una simecticidad dinámica casi perfecta que reemplaza la linealidad dinámica casi perfecta.

Por las razones anteriores, quizás los estudiantes del siglo XXI no deberían aceptar los libros de texto del siglo XX por completo al pie de la letra. Pero en realidad, ¿qué estudiante del siglo XXI lo querría de otra manera?

Lo anterior es cómo los ingenieros de sistemas cuánticos han llegado a adoptar un conjunto de herramientas matemáticas que combina la naturalidad geométrica y algebraica, y se aplica generalmente a los sistemas dinámicos clásicos, cuánticos e híbridos.

Edición adicional: como prueba de la viabilidad de un enfoque geométrico para la simulación cuántica práctica, nuestro Grupo de Ingeniería de Sistemas Cuánticos (QSE) complementó el libro de texto clásico de Charlie Slichter, Principios de resonancia magnética, con una versión mejorada del Capítulo 3 " Ampliación dipolar magnética y transporte de polarización en Enrejados rígidos ".

Esta transcripción geométrica apunta naturalmente a múltiples preguntas abiertas en dinámica geométrica; vea por ejemplo la pregunta de MathOverflow " En simulaciones dinámicas cuánticas, ¿cuál es el análogo simétrico (Riemanniano) de un soporte de Poisson? "

John Sidles
fuente

Te he visto ondear la bandera de este enfoque por toda la red. Con una o dos oraciones sugestivas, ¿podría dar una idea de cómo los espacios de estado que menciona no son lineales? Con la cuantización geométrica, comienza con una M múltiple como el espacio de fase clásico, pero el espacio de estado cuántico es el espacio de Hilbert L ^ 2 (M). Es decir, incluso si la geometría clásica es altamente no lineal, la geometría cuántica sigue siendo lineal, aunque, por supuesto, es mucho más grande (tiene una dimensión infinita, etc.).

Por Vognsen

Lo siento, dije una mentira piadosa. En realidad, debe mirar L ^ 2 sobre un conjunto de líneas en M. Pero el punto básico sigue siendo.

Por Vognsen

Per, lo que usted dice es cierto de la escuela clásica (principalmente rusa) de "cuantización geométrica", en la que uno comienza con un sistema clásico y busca una generalización cuántica del mismo. Pero exactamente lo <i> opuesto </i> sucede en los modelos Ashtekar / Schilling de "mecánica cuántica geométrica", en los que el punto de partida es la dinámica simpléctica / Lindbladiana en una variedad K & auml; hler.

John Sidles

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Hmmm ... vamos a formatearlo mejor! Per, en la escuela (principalmente rusa) de "cuantización geométrica" uno comienza con la dinámica clásica y busca una generalización cuántica de la misma. El movimiento opuesto se ve en los modelos Ashtekar / Schilling de "mecánica cuántica geométrica", en el que el comienzo es la dinámica simpléctica / lindbladiana en un espacio de estado de Kahler, después de lo cual: (1) exhibe la dinámica clásica como un límite inducido por el flujo de Lindblad , y / o (2) retrocede al espacio de Hilbert como una aproximación de N grande (espectral). En ingeniería, los dos últimos métodos se usan comúnmente, pero no se enseñan comúnmente.

John Sidles

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En primer lugar, ¿por qué los observables están representados por operadores? En la mecánica clásica, un observable es una función de valor real en el espacio de fase. Extrae información sobre valores como la energía o el impulso del sistema, pero no lo afecta ni interfiere con él. Si el observador es parte del sistema, la medición es un proceso físico y puede cambiar la evolución del sistema. Para que la evolución temporal finita no infinitesimal sea unitaria (es decir, preservar la probabilidad total), la evolución temporal infinitesimal debe ser hermitiana. Este es el teorema de Stone; explica por qué los operadores en mecánica cuántica son hermitianos.

Si eso tiene sentido, la fórmula deduce de dos cosas: $M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ describe la evolución en el tiempo infinitesimal del proceso de medición para lo observable. El sucesor de es y, por dualidad, el sucesor de es . $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
La norma es la probabilidad total del estado. Combinado con el punto anterior, esto muestra que la probabilidad total del sucesor es . La división por la raíz cuadrada normaliza el estado. $\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

Por Vognsen
fuente

Per, no estoy seguro de que el primer punto sea terriblemente claro. La en este caso es uno de un conjunto de operadores que componen una medición general (presumiblemente una POVM), por lo que la evolución no es determinista. Tampoco es continuo, por lo que el comentario sobre la evolución infinitesimal puede ser un poco engañoso. Estos son saltos realmente condicionales.

M

$M$

Joe Fitzsimons

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Bueno, voy a proporcionar algunas referencias adicionales relevantes a la pregunta de Akash Kumar sobre los postulados cuánticos, con miras a alentar a los estudiantes a aprender las matemáticas que necesitan para apreciar los muchos marcos bien desarrollados para estudiar la dinámica clásica y cuántica.

Comencemos donde termina el texto de Nielsen-Chuang, a saber, con "Teorema: libertad unitaria en la representación de suma de operador" (Sección 8.2 de Nielsen-Chuang). El texto de Nielsen y Chuang señala que una aplicación práctica de este teorema ha venido en la teoría de la corrección de errores cuánticos, donde ha sido "crucial para una buena comprensión de la corrección de errores cuánticos". Pero entonces el texto de Nielsen-Chuang queda en silencio.

Las respuestas dadas (hasta ahora) aquí en Stack Exchange no son de mucha ayuda para comprender esta "libertad unitaria" ... que resulta ser central en todos los aspectos de la mecánica cuántica asociados a lo que Einstein y Bohr llamaron el "spukhafte Fernwirkungen" (acción espeluznante a distancia) de la mecánica cuántica. En particular, esta libertad unitaria es clave para la lectura cuántica, la corrección de errores cuánticos y la criptografía cuántica, tres de las principales razones por las que los estudiantes de TCS estudian la dinámica cuántica.

Para aprender más, ¿qué debe leer el alumno? Hay muchas opciones (y otras pueden tener sus propias preferencias), pero voy a recomendar los "Métodos estadísticos en óptica cuántica: campos no clásicos" de Howard Carmichael, en particular el Capítulo 17-19, titulado "Trayectorias cuánticas I- III ".

En estos tres capítulos, el texto de Carmichael motiva físicamente lo que el texto de Nielsen-Chuang codifica como postulados y teoremas formales, es decir, nuestra libertad para "desentrañar" mediciones proyectivas (también mediciones no proyectivas) de varias maneras. Físicamente, esta libertad asegura que vivimos en un universo causalmente separable, matemáticamente esta libertad es la base de toda la criptografía cuántica y la corrección de errores.

AFACIT, fue el propio Carmichael quien en 1993 inventó el término estándar "desentrañar" para describir esta invariancia informática. Desde entonces, la literatura que se desmorona ha crecido inmensamente: una búsqueda de texto completo del servidor arxiv para "quantum" y "desentrañando" encuentra 762 manuscritos; la variante de ortografía "desentrañar" encuentra 612 manuscritos más (posiblemente con algunos duplicados).

Por supuesto, aprender el conjunto de herramientas matemáticas y las ideas físicas asociadas a la desintegración cuántica es mucho trabajo. Es razonable preguntar, ¿qué beneficio (s) pueden esperar razonablemente los estudiantes para pagar este arduo trabajo? En respuesta, aquí hay una parábola de un párrafo, cuya principal virtud es que es inmensamente más corta que leer dos textos cuánticos muy largos y difíciles (Nielsen-Chuang y Carmichael).

Érase una vez, una estudiante de geometría euclidiana llamada Alice se preguntó "¿Cómo funciona realmente la medición de la longitud euclidiana?" Los postulados euclidianos respondieron a la pregunta de Alice de la siguiente manera: "Todas las mediciones de longitud física son equivalentes a las mediciones realizadas por una brújula, cuyo modelo matemático es un segmento de la recta numérica". Sin embargo, por un inmenso esfuerzo de imaginación creativa, Alice concibió una respuesta equivalente pero más general: "Todas las mediciones de longitud física son equivalentes a integraciones de velocidades a lo largo de trayectorias, cuyo modelo matemático son curvas en múltiples que están equipadas con formas simplécticas y métricas y potenciales dinámicos. ". El marco no euclidiano de Alicia para la dinámica clásica fue mucho trabajo por aprender, pero se abrió a sus nuevos mundos de ciencia, tecnología,

Para hacer explícito el punto de la parábola, Alice abrazó una descripción diferencial de la dinámica clásica, y así se liberó de las rígidas restricciones del espacio euclidiano. Del mismo modo, los estudiantes cuánticos de hoy tienen la opción de adoptar una descripción diferencial de la dinámica de desentrañar, y así liberarse de las restricciones rígidas del espacio de Hilbert.

Al igual que con la dinámica clásica no euclidiana, la dinámica cuántica no-Hilbert es mucho trabajo para aprender, en la actualidad no existe un libro de texto único que cubra todo el material requerido, y sin embargo, estos nuevos métodos no euclidianos / no-Hilbert Los marcos dinámicos están abriendo vastos mundos nuevos para la exploración. Estas exploraciones se extienden desde los misterios de la teoría de cuerdas hasta los desafiantes desafíos de escribir códigos de simulación cuántica validados y eficientes en química y ciencia de materiales. Está claro que la investigación en cualquiera de estas áreas ya requiere de los estudiantes una apreciación más profunda que Euclides de la dinámica clásica y una apreciación más profunda que Hilbert de la dinámica cuántica.

Es por eso que los desafíos matemáticos y las oportunidades de investigación asociadas a la dinámica clásica y cuántica nunca han sido mayores que en la actualidad. ¡Lo que es bueno!

fuente

Computación Cuántica - Postulados de QM

Respuestas:

Apéndice.

Observaciones generales.