Imagen geométrica detrás de expansores cuánticos

(también preguntado aquí , sin respuestas)

Un expansor cuántico es una distribución sobre el grupo unitario con la propiedad que: a) , b) , donde es la medida de Haar. Si en lugar de distribuciones sobre unidades unitarias consideramos distribuciones sobre matrices de permutación, no es difícil ver que recuperamos la definición habitual de un gráfico expansor regular. Para obtener más información, consulte, por ejemplo: Expansores de productos de tensor cuántico eficiente y diseños k de Harrow y Low.$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

Mi pregunta es: ¿los expansores cuánticos admiten algún tipo de interpretación geométrica similar a los expansores clásicos (donde la brecha espectral $\sim$ isoperimetría sim / expansión del gráfico subyacente)? No defino formalmente la "realización geométrica", pero conceptualmente, uno podría esperar que el criterio puramente espectral pueda traducirse a alguna imagen geométrica (que, en el caso clásico, es la fuente de riqueza matemática que disfrutan los expansores; estructura matemática cuántica los expansores parecen ser mucho más limitados).

[Esta respuesta fue copiada de mi respuesta en el sitio de intercambio de pila de física teórica ahora desaparecido.] Para los expansores clásicos, la definición espectral puede expresarse en términos del segundo valor propio más pequeño del gráfico laplaciano, que puede considerarse como el mínimo de una forma cuadrática sobre todos los vectores unitarios ortogonales al vector todos. Si restringimos esta minimización a vectores de la forma (a, a, ..., a, b, b, ..b), entonces esto produce la expansión del borde del gráfico. Aquí hay una discusión. La equivalencia aproximada de estas dos definiciones se conoce como desigualdad de Cheeger .

Esto sugiere que para el caso cuántico deberíamos considerar la acción del canal (formado al aplicar un unitario aleatorio del expansor) en los proyectores. Un resultado análogo a la desigualdad de Cheeger se deriva en el Apéndice A de arXiv: 0706.0556 .

Por otro lado, si bien esto es matemáticamente análogo, todavía conocemos muchas menos aplicaciones de expansores cuánticos que las conocidas para los expansores clásicos.