Corte st mínimo en gráficos acíclicos dirigidos ponderados con pesos posiblemente negativos

Me encontré con el siguiente problema:

Dado un gráfico acíclico dirigido con pesos de arista con valores reales y dos vértices syt, calcule el corte st mínimo.

Para gráficos generales, esto es NP-hard, ya que uno puede reducir trivialmente el corte máximo simplemente invirtiendo los pesos de los bordes (corrígeme si me equivoco).

¿Cuál es la situación con los DAG? ¿Se puede resolver el corte mínimo (o corte máximo) en tiempo polinómico? ¿Es NP-hard y, de ser así, hay algún algoritmo de aproximación conocido?

Traté de encontrar trabajo en esto pero no pude (tal vez solo estoy usando palabras clave incorrectas en mis búsquedas), así que esperaba que alguien supiera (o encontrara) algo sobre esto.

algorithms complexity-theory graph-theory weighted-graphs Jorge
fuente

¿Dónde falla aquí la formulación de programación lineal de min-cut?

Peter Shor

(usando la notación de en.wikipedia.org/wiki/… ): Para bordes con pesos negativos, d_ {ij} puede ser arbitrariamente grande. Incluso si uno limita d_ {ij} desde arriba, siempre tomará el valor máximo posible para bordes con pesos negativos. Por lo tanto, la solución a dicho programa no siempre producirá un corte st válido. Puedo estar equivocado ya que no tengo mucha experiencia con tales problemas, si es así, corríjame. Básicamente, me gustaría saber si max-cut (con pesos arbitrarios) se puede resolver de manera eficiente para los DAG o no.

George

d_{i j} = p_{j} - p_{i}

$d_{ij} = p_j - p_i$

p_{i}

$p_i$

p_{i}

$p_i$

¿Es st max-cut NP-hard para DAG? Si el gráfico no es un DAG, no puede cambiar esa desigualdad a una igualdad, porque necesita la desigualdad si hay ciclos. Entonces, en el caso general, el LP no funciona con pesos negativos.

Peter Shor

Respuestas:

$s$ $t$ $s$ $t$ $s$ $t$

$(i,j)$ $c_{ij}$ $p_i$ $d_{ij} = p_i - p_j$

\begin{aligned} m i n i m i z e & \sum_{(i, j) \in E} c_{i j} d_{i j} \\ s u b j e c t t o & d_{i j} = p_{i} - p_{j} \forall (i, j) \in E \\ d_{i j} \geq 0 \forall (i, j) \in E \\ p_{s} = 1 \\ p_{t} = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{minimize\ } & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} d_{ij} \\ \mathrm{subject\ to\ } & \ \ \ d_{ij} = p_i - p_j \ \ \forall (i,j) \in E \\ &\ \ \ d_{ij} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \forall (i,j) \in E \\ & \ \ \ p_s\, = 1 \\ & \ \ \ p_t \, = 0 \end{align*}$

$0 \leq p_i \leq 1$ $s$ $t$ $d_{ij} = p_i - p_j$ $s$ $t$ $p_i$ $0$ $1$ $C_w$ $w$ $[0,1]$ $C_w$ $i$ $p_i\geq w$ $p_i < w$

Peter Shor
fuente

0 \leq p_{i} l e q 1

$0 \leq p_i leq 1$

@George: es el mismo argumento que muestra que Min-Cut LP tiene soluciones integrales. Debería haber una explicación más larga (y más comprensible) en algún lugar en línea.

Peter Shor

Ok, lo buscaré. Muchas gracias de nuevo por tu ayuda!

George