¿Por qué la distribución geométrica y la distribución hipergeométrica se llaman así?

Sí, los términos se refieren a las funciones de masa de probabilidad (pmfs).

Hace 2.500 años, Euclides (en los Libros VIII y IV de sus Elementos ) estudió secuencias de longitudes que tienen proporciones comunes. . En algún momento, tales secuencias se conocieron como "progresiones geométricas" (aunque el término "geométrico" podría haberse aplicado fácilmente a muchas otras series regulares, incluidas las que ahora se llaman "aritméticas").

La función de masa de probabilidad de una distribución geométrica con el parámetro forma una progresión geométrica. $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Aquí la proporción común es . $1-p$

Hace varios cientos de años, una vasta generalización de tales progresiones se hizo importante en los estudios de curvas elípticas, ecuaciones diferenciales y muchas otras áreas de matemáticas profundamente interconectadas. La generalización supone que las proporciones relativas entre términos sucesivos en las posiciones y podrían variar, pero limita la naturaleza de esa variación: las proporciones deben ser una función racional dada de . Debido a que estos "superan" o "superan" la progresión geométrica (para la cual la función racional es constante), se denominaron hipergeométricos a partir del prefijo griego antiguo $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ("hiper").

La función de masa de probabilidad de una función hipergeométrica con parámetros y tiene la forma $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

para adecuado . Por lo tanto, la razón de probabilidades sucesivas es igual a $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

$k$ $(2,2)$

whuber
fuente

¡Gracias! ¿Hay otras distribuciones cuyos pmfs también forman progresiones geométricas o hipergeométricas?

Tim

Si un pmf forma una progresión geométrica, debe ser una distribución geométrica desplazada, reescalada y / o truncada. Si forma una progresión hipergeométrica de grado (2,2), entonces se mantiene una conclusión similar. Hay distribuciones asociadas con cualquier serie que sume a un valor finito, por lo que la distribución hipergeométrica se generaliza a muchas otras distribuciones (usando diferentes funciones racionales). La mayoría de ellos no tienen nombres. Una excepción es la distribución binomial negativa cuyo pmf es hipergeométrico de grado (1,1).

whuber

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

Sí, esa es una función racional de grado (0,1), por lo que se ajusta a la definición general de una progresión hipergeométrica.

whuber

¿Por qué la distribución geométrica y la distribución hipergeométrica se llaman así?

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