Convergencia en distribución \ CLT

Dado que , el distr. Condicional. de es . tiene distr. Marginal de Poisson ( ), es una constante positiva. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Demuestre que, como , $\theta \rightarrow \infty$ en distribución. $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

¿Alguien podría sugerir estrategias para resolver esto? Parece que necesitamos usar CLT (Teorema del límite central), pero parece difícil obtener información sobre por sí mismo. ¿Hay un rv que se pueda introducir para tomar una muestra de, para generar ? $Y$ $Y$

Esta es la tarea, por lo que se aprecian sugerencias .

self-study poisson-distribution conditional-probability convergence central-limit-theorem usuario42102
fuente

A mí también me parece una cosa del clt. Tal vez ya sea obvio para ti, pero como theta-> Infinity, ¿qué le sucede a N?

PeterR

¿Debería estar mirando la distribución de N? Si juego con él, parece que su pdf siempre será 0. ¿Qué puedo inferir de esto?

user42102

¿Cuál es la media de una variable aleatoria de poisson (theta)?

PeterR

Mezclé el N en esta pregunta y el tamaño de la muestra n en la definición de CLT. Entonces

. Entonces vemos que el valor esperado de N se aproxima al infinito. Sin embargo, no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

user42102

Deberías mirar la distribución de chi cuadrado no central. Sin embargo, me temo que probar que el límite es normal será más complicado que una simple aplicación del CLT.

caburke

Respuestas:

Proporciono una solución basada en las propiedades de las funciones características, que se definen de la siguiente manera Sabemos que la distribución está definida de manera única por la función característica, por lo que demostraré que

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

y de allí sigue la convergencia deseada.

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Para eso necesitaré calcular la media y la varianza de , para lo cual uso la ley de expectativas / varianza total: http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

que la media y la varianza de la distribución de Poisson son

y la media y la varianza de

son

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

. Ahora viene el cálculo con funciones características. Al principio, reescribo la definición de

como

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Ahora uso el teorema que establece

La función característica de

, que se toma de aquí:

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

$Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

Fimba
fuente

Esto se puede mostrar a través de la relación con la distribución cincelada no central. ¡Hay un buen artículo de Wikipedia sobre lo que haré referencia libremente! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

$Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

$Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ va a cero, por lo que la masa puntual en cero desaparece (la variable cuadriculada con cero grados de libertad debe interpretarse como una masa puntual en cero, por lo tanto, no tiene función de densidad).

$k$ $k$ $k$

kjetil b halvorsen
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