Estimación de n en el problema del colector de cupones

En una variación del problema del colector de cupones , no conoce el número de cupones y debe determinarlo en función de los datos. Me referiré a esto como el problema de las cookies de fortuna:

Dado un número desconocido de mensajes distintos de cookies de fortuna $n$ , calcule $n$ muestreando las cookies una a la vez y contando cuántas veces aparece cada fortuna. También determine la cantidad de muestras necesarias para obtener un intervalo de confianza deseado en esta estimación.

Básicamente, necesito un algoritmo que muestree los datos suficientes para alcanzar un intervalo de confianza dado, digamos $n \pm 5$ con un $95\%$ confianza. Para simplificar, podemos suponer que todas las fortunas aparecen con la misma probabilidad / frecuencia, pero esto no es cierto para un problema más general, y una solución a eso también es bienvenida.

Esto parece similar al problema del tanque alemán , pero en este caso, las cookies de fortuna no están etiquetadas secuencialmente y, por lo tanto, no tienen orden.

Para el caso de igual probabilidad / frecuencia, este enfoque puede funcionar para usted.

Sea el tamaño total de la muestra, N sea ​​el número de elementos diferentes observados, N 1 sea ​​el número de elementos vistos exactamente una vez, N 2 sea ​​el número de elementos vistos exactamente dos veces, A = N 1 ( 1 - N $K$$N$$N_1$$N_2$y Q =N$A=N_1(1− {N_1 \over K} )+2N_2,$$\hat Q = {N_1 \over K}.$

Luego, un intervalo de confianza aproximado del 95% en el tamaño total de la población viene dado por$n$

$$\hat n_{Lower}={1 \over {1-\hat Q+{1.96 \sqrt{A} \over K} }}$$

$$\hat n_{Upper}={1 \over {1-\hat Q-{1.96 \sqrt{A} \over K} }}$$

Al implementar, es posible que deba ajustarlos según sus datos.

El método se debe a Good and Turing. Una referencia con el intervalo de confianza es Esty, Warren W. (1983), "Una ley de límite normal para un estimador no paramétrico de la cobertura de una muestra aleatoria" , Ann. Estadístico. , Volumen 11, Número 3, 905-912.

Para el problema más general, Bunge ha producido software libre que produce varias estimaciones. Busque con su nombre y la palabra CatchAll .

No sé si puede ayudar, pero es el problema de tomar bolas diferentes durante n pruebas en una urna con m bolas etiquetadas de manera diferente con reemplazo. De acuerdo con esta página (en francés) si X n si la variable aleatoria cuenta el número de bolas diferentes, la función de probabilidad viene dada por: P ( X n = k ) = ($k$$n$$m$$X_n$$P(X_n = k) = {m \choose k} \sum_{i=0}^k {(-1)^{k-i}{k \choose i}}{(\frac{i}{m})^n}$

Entonces puede usar un estimador de máxima verosimilitud.

Aquí se da otra fórmula con prueba para resolver el problema de ocupación .

Función de probabilidad y probabilidad

En una respuesta a una pregunta sobre el problema del cumpleaños inverso, Cody Maughan ha dado una solución para una función de probabilidad.

La función de probabilidad para el número de tipos de fortune cooky $m$ cuando dibujamos $k$ diferentes cookies de fortuna en $n$ sorteos (donde cada tipo de cookie de fortuna tiene la misma probabilidad de aparecer en un sorteo) se puede expresar como:

$$\begin{array}{} \mathcal{L}(m \, \vert \, k,n ) = m^{-n} \frac{m!}{(m-k)!} \propto P(k \, \vert \, m,n) &=& m^{-n}\frac{m!}{(m-k)!} \cdot \underbrace{S(n,k)}_{\begin{subarray}{l}\text{Stirling number }\\ \text{of the 2nd kind}\end{subarray}}\\ &=& m^{-n}\frac{m!}{(m-k)!} \cdot \frac{1}{k!} \sum_{i=0}^k {(-1)^{i}{k \choose i}}{(k-i)^n} \\ &=& {{m}\choose{k}} \sum_{i=0}^k {(-1)^{i}{k \choose i}}{\left(\frac{k-i}{m}\right)^n} \end{array}$$

For a derivation of the probability on the right hand side see the the occupancy problem. This has been described before on this website by Ben. The expression is similar to the one in the answer by Sylvain.

Maximum likelihood estimate

We can compute first order and second order approximations of the maximum of the likelihood function at

$$m_1 \approx \frac{ {{n}\choose{2}}}{n-k}$$

$$m_2 \approx \frac{ {{n}\choose{2}} + \sqrt{{{n}\choose{2}}^2 - 4(n-k) {{n}\choose{3}}}}{2(n-k)}$$

Likelihood interval

(note, this is not the same as a confidence interval see: The basic logic of constructing a confidence interval)

This remains an open problem for me. I am not sure yet how to deal with the expression $m^{-n} \frac{m!}{(m-k)!}$ (of course one can compute all values and select the boundaries based on that, but it would be more nice to have some explicit exact formula or estimate). I can not seem to relate it to any other distribution which would greatly help to evaluate it. But I feel like a nice (simple) expression could be possible from this likelihood interval approach.

Confidence interval

For the confidence interval we can use a normal approximation. In Ben's answer the following mean and variance are given:

$$\mathbb{E}[K] = m \left(1-\left(1 - \frac{1}{m}\right)^n\right)$$ $$\mathbb{V}[K] = m \left(\left(m-1\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)^n + \left(1 - \frac{1}{m}\right)^n - m \left(1 - \frac{1}{m}\right)^{2n} \right)$$

Say for a given sample $n=200$ and observed unique cookies $k$ the 95% boundaries $\mathbb{E}[K] \pm 1.96 \sqrt{\mathbb{V}[K]}$ look like:

In the image above the curves for the interval have been drawn by expressing the lines as a function of the population size $m$ and sample size $n$ (so the x-axis is the dependent variable in drawing these curves).

The difficulty is to inverse this and obtain the interval values for a given observed value $k$. It can be done computationally, but possibly there might be some more direct function.

In the image I have also added Clopper Pearson confidence intervals based on a direct computation of the cumulative distribution based on all the probabilities $P(k \, \vert \, m,n)$ (I did this in R where I needed to use the Strlng2 function from the CryptRndTest package which is an asymptotic approximation of the logarithm of the Stirling number of the second kind). You can see that the boundaries coincide reasonably well, so the normal approximation is performing well in this case.

# function to compute Probability
library("CryptRndTest")
P5 <- function(m,n,k) {
  exp(-n*log(m)+lfactorial(m)-lfactorial(m-k)+Strlng2(n,k))
}
P5 <- Vectorize(P5)

# function for expected value 
m4 <- function(m,n) {
  m*(1-(1-1/m)^n)
}

# function for variance
v4 <- function(m,n) {
  m*((m-1)*(1-2/m)^n+(1-1/m)^n-m*(1-1/m)^(2*n))
}


# compute 95% boundaries based on Pearson Clopper intervals
# first a distribution is computed
# then the 2.5% and 97.5% boundaries of the cumulative values are located
simDist <- function(m,n,p=0.05) {
  k <- 1:min(n,m)
  dist <- P5(m,n,k)
  dist[is.na(dist)] <- 0
  dist[dist == Inf] <- 0
  c(max(which(cumsum(dist)<p/2))+1,
       min(which(cumsum(dist)>1-p/2))-1)
}


# some values for the example
n <- 200
m <- 1:5000
k <- 1:n

# compute the Pearon Clopper intervals
res <- sapply(m, FUN = function(x) {simDist(x,n)})


# plot the maximum likelihood estimate
plot(m4(m,n),m,
     log="", ylab="estimated population size m", xlab = "observed uniques k",
     xlim =c(1,200),ylim =c(1,5000),
     pch=21,col=1,bg=1,cex=0.7, type = "l", yaxt = "n")
axis(2, at = c(0,2500,5000))

# add lines for confidence intervals based on normal approximation
lines(m4(m,n)+1.96*sqrt(v4(m,n)),m, lty=2)
lines(m4(m,n)-1.96*sqrt(v4(m,n)),m, lty=2)
# add lines for conficence intervals based on Clopper Pearson
lines(res[1,],m,col=3,lty=2)
lines(res[2,],m,col=3,lty=2)

# add legend
legend(0,5100,
       c("MLE","95% interval\n(Normal Approximation)\n","95% interval\n(Clopper-Pearson)\n")
       , lty=c(1,2,2), col=c(1,1,3),cex=0.7,
       box.col = rgb(0,0,0,0))