¿Por qué la desviación estándar muestral es un estimador sesgado de

Según el artículo de Wikipedia sobre la estimación imparcial de la desviación estándar, la muestra SD

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$$

es un estimador sesgado de la DE de la población. Establece que .$E(\sqrt{s^2}) \neq \sqrt{E(s^2)}$

NÓTESE BIEN. Las variables aleatorias son independientes y cada $x_{i} \sim N(\mu,\sigma^{2})$

Mi pregunta es doble:

• ¿Cuál es la prueba de la parcialidad?
• ¿Cómo se calcula la expectativa de la desviación estándar de la muestra?

Mi conocimiento de matemáticas / estadísticas es solo intermedio.

La respuesta de @ NRH a esta pregunta ofrece una prueba simple y agradable de la parcialidad de la desviación estándar de la muestra. Aquí calcularé explícitamente la expectativa de la desviación estándar de la muestra (la segunda pregunta del póster original) a partir de una muestra distribuida normalmente, en cuyo punto el sesgo es claro.

La varianza de la muestra no sesgada de un conjunto de puntos es$x_1, ..., x_n$

$$s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$$

Si las están distribuidas normalmente, es un hecho que$x_i$

$$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^{2}_{n-1}$$

donde es la verdadera varianza. La distribución χ 2 k tiene densidad de probabilidad$\sigma^2$$\chi^2_{k}$

$$p(x) = \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1}e^{-x/2}$$

usando esto podemos derivar el valor esperado de ;$s$

$$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} E \left( \sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma((n-1)/2)} x^{((n-1)/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \end{align}$$

$\sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}}$$\chi^2$$\chi^2$

$$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \cdot \frac{ (1/2)^{(n-1)/2} }{ (1/2)^{n/2} } \underbrace{ \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx}_{\chi^2_n \ {\rm density} } \end{align}$$

$\chi^2_{n}$

$$E(s) = \sigma \cdot \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$$

$s$

$$\sigma - E(s) = \sigma \bigg(1 - \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \bigg) \sim \frac{\sigma}{4 n} \>$$ $n \to \infty$

$n$$n$$\sigma=1$$1/4n$

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2$$ $\sigma^2$
$$E(\sqrt{s^2}) < \sqrt{E(s^2)} = \sigma$$ $s^2$$\sigma^2$

$$S_n = \sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}} ,$$ $S_n$$\mathrm{Var}[S_n]\ne0$ $$0 < \mathrm{Var}[S_n] = \mathrm{E}[S_n^2] - \mathrm{E}^2[S_n] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}^2[S_n] < \mathrm{E}[S_n^2] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}[S_n] < \sqrt{\mathrm{E}[S_n^2]} =\sigma.$$