¿El significado de representar el simplex como una superficie triangular en la distribución de Dirichlet?

Estoy leyendo un libro que introduce la distribución Dirchilet y luego presentó cifras al respecto. Pero realmente no pude entender esas cifras. Adjunté la figura aquí en la parte inferior. Lo que no entiendo son los significados de los triángulos.

Normalmente, cuando se quiere trazar una función de 2 variables, se toma el valor de var1 y va2 y luego se traza el valor del valor de la función de esas dos variables ... lo que proporciona una visualización en una dimensión 3D. Pero aquí hay 3 dimensiones y otro valor para el valor de la función, por lo que se visualiza en el espacio 4D. ¡No puedo entender esas cifras!

¡Espero que alguien pueda aclararlos por favor!

EDITAR: esto es lo que no entiendo de la figura 2.14a. Así que hemos extraído de K = 3 dirichlet una muestra theta (que es básicamente un vector) que es: theta = [theta1, theta2, theta3]. El triángulo representa [theta1, theta2, theta3]. La distancia desde el origen a cada theta_i es el valor de theta_i. Luego, para cada theta_i, puso un vértice y conectó las tres vértices e hizo un triángulo. Sé que si conecto [theta1, theta2, theta3] en dir (theta | a) obtendré un número que es la probabilidad conjunta del vector theta. También entiendo que la probabilidad de variables aleatorias continuas es una medida de un área. Pero aquí tenemos 3 dimensiones, por lo que la probabilidad conjunta será la medida del volumen del espacio desde el plano rosa y debajo ... es decir, la pirámide. Ahora no entiendo cuál es el papel del triángulo aquí.

No entiendo cuál es el papel del triángulo aquí. ¿Qué está tratando de comunicar o visualizar?

$0 \leq \theta \leq 1$$\theta_0 + \theta_1 + \theta_2 = 1$

La forma en que finalmente lo entendí es la siguiente:

$\theta_{1, 2, 3}$

En (b), se muestra un triángulo, este es nuestro simplex.

(c) muestra dos puntos de ejemplo que "ponen" en el simplex que también cumplen el segundo criterio (suma hasta uno).

(d) muestra otro punto de ejemplo en el simplex, se mantienen las mismas restricciones

En (e), traté de mostrar una proyección del símplex a un triángulo 2D con todos los puntos de ejemplo mostrados anteriormente.

Espero que tenga más sentido ahora :)

$\theta_i$$k=3$$\theta$. Ahora suponga que inclina ese plano de modo que tenga una pirámide con el plano rosa, la cara más cercana al lector, colocada plana en la página. Luego, suprima la tercera dimensión "emergente" de la página y, en su lugar, coloree el triángulo de modo que la región de mayor densidad, con una distancia más larga desde la base hasta la superficie, sea más roja. Eso es lo que muestran los gráficos 2.14 (b) y 2.14 (c). Cuanto más se concentra el rojo cerca de un vértice, más probable es la clase asociada con ese vértice. Del mismo modo, si la región roja no está muy cerca de ningún vértice, no es especialmente probable que un evento tenga una mayor probabilidad de pertenencia a alguna de las clases.

$\theta$$\theta$$\theta$$k=3$$\theta$$\theta\sim\text{Dir}(\alpha)$