¿Cuál es la mediana de una distribución t no central?

¿Cuál es la mediana de la distribución t no central con el parámetro de no centralidad ? Esta puede ser una pregunta desesperada porque el CDF parece expresarse como una suma infinita, y no puedo encontrar ninguna información sobre la función inversa del CDF.$\delta \ne 0$

Puedes aproximarlo.

Por ejemplo, hice los siguientes ajustes no lineales para (grados de libertad) de 1 a 20 y δ (parámetro de no centralidad) de 0 a 5 (en pasos de 1/2). Dejar$\nu$$\delta$

$$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$$

$$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$$

y

$$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$$

$g$$\nu=1$$\nu=2$$\nu=3$$\nu = 4, 5, \ldots, 20$

$a$$b$$\nu$$a$$b$$\nu$$a$$b$

$\nu$

$\delta$$\nu=1$ $\delta$

Los residuos son realmente pequeños en comparación con las medianas.

$\delta$$\nu$

$\delta$$\delta$$\delta$$\nu$

Si está interesado en (grados de libertad) ν> 2, la siguiente expresión asintótica [derivada de una aproximación interpolativa al cuantil no central de student-t, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] es lo suficientemente precisa para muchos propósitos:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Con ν> 2, la magnitud máxima del sesgo de la expresión anterior en relación con la mediana no central de student-t es de aproximadamente 2% y disminuye rápidamente al aumentar ν. El diagrama de contorno muestra el sesgo de la aproximación asintótica en relación con la mediana no central de Student-t: