¿Podemos hacer que la distribución de Irwin-Hall sea más general?

Necesito encontrar una clase de distribución simétrica de baja curtosis, que incluya la distribución gaussiana uniforme, triangular y normal. La distribución de Irwin-Hall (suma del uniforme estándar) ofrece esta característica, pero no trata las órdenes enteras . Sin embargo, si simplemente resume de manera independiente, por ejemplo, 2 uniformes estándar y un tercero con un rango menor como , obtendrá una versión más general y uniforme de Irwin-Hall para cualquier arbitrario orden (como en este caso). Sin embargo, me pregunto si es posible encontrar una fórmula cerrada práctica para el CDF. $N$ $[0,1]$ $[0,0.25]$ $N=2.25$

distributions pdf uniform cdf usuario32038
fuente

"Suavemente extendido" plantea algunas preguntas espinosas. En el hilo en stats.stackexchange.com/questions/41467 , el póster observa que la suavidad de la distribución de Irwin-Hall cambia abruptamente de un valor (integral) de al siguiente. Esto ya sugiere que no deberíamos esperar que haya una forma cerrada matemáticamente "agradable" que esté parametrizada por valores reales de . Además, no existe una fórmula tan cerrada ni siquiera para la distribución de Irwin-Hall.

n

$n$

n

$n$

whuber

Hola, realicé experimentos de muestreo detallados y busqué histogramas de distribución tan generalizada de Irwin-Hall. De hecho, la introducción de N no entero ayuda a evitar saltos en el comportamiento. También, por ejemplo, la curtosis aumenta suavemente con el valor N real. Si este no fuera el caso, de hecho no sería agradable. Creo que debería ser posible extender la fórmula de suma de Irwin-Hall para CDF de alguna manera.

user32038

La suma no es una "fórmula cerrada" en el sentido habitual de la palabra porque el número de términos aumenta sin límite a medida que varía. Esta es una distinción importante, porque existen verdaderas fórmulas cerradas: la función característica de la distribución de Irwin-Hall, existe para no integral su Transformada inversa de Fourier responde a su pregunta, es decir, si considera que es una fórmula práctica cerrada .

n

$n$

{((\exp (i t) - 1) / (i t))}^{n},

$\left((\exp(it) - 1)/(it)\right)^n,$

n

$n$

whuber

Hola whuber Necesito una implementación adecuada, por ejemplo, en Pascal. Para N moderado (como 20), la conocida fórmula Irwin-Hall CDF no es un problema en absoluto, pero no quiero gastar demasiado tiempo de computación, por ejemplo, para una integración, transformación de Fourier (inversa) o lo que sea. Por supuesto, el enfoque de la transformación de Fourier es elegante, pero no tan preciso, porque estoy muy interesado en CDF (x) para x "grande", ¡así que el área de la cola es importante para mí!

user32038

Hola, ¿podría esbozar con más detalle cómo pasaría de la transformación de Fourier de PDF al CDF simple? (aunque generalmente creo que este método tiene problemas de oscilación en las colas, por ejemplo, dar un PDF negativo si intentamos evaluar la integral ...).

user32038

Bueno, esta no es realmente una respuesta completa, volveré más tarde para completar ...

El libro de Brian Ripley, Simulación estocástica, tiene la fórmula pdf cerrada como ejercicio 3.1 página 92 y se da a continuación: A continuación se muestra una implementación de R:

f (x) = \sum_{r = 0}^{⌊ x ⌋} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) (x - r)^{(n - 1)} / (n - 1)!

$f(x) = \sum_{r=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^r \binom{n}{r} (x-r)^{(n-1)}/ (n-1)!$

makeIH  <-  function(n) Vectorize( function(x) {
                            if (x < 0) return(0.0)
                            if (x > n) return(0.0)
                            X  <-  floor(x)
                            r <- seq(from=0,  to=X)
                            s <-  (-1)^r * choose(n, r)*(x-r)^(n-1)/factorial(n-1)
                            sum(s)
                            } )

que se usa de esta manera:

fun3  <-  makeIH(3)
 plot(fun3,from=0,to=3,n=1001)
 abline(v=1, col="red")
 abline(v=2, col="red")

y da esta trama:

La falta de suavidad en los valores enteros se puede ver, al menos con una buena vista ... $x=1, x=2$

(Volveré para completar esto más tarde)

kjetil b halvorsen
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+1 Me interesaría ver cuál es la finalización de esto, si tienes tiempo. ... Por otro lado, aunque sé que aquí hay una falta de suavidad (en el sentido de que hay discontinuidades en la segunda derivada), no puedo decir que realmente lo percibo como no suave (mi ojo tiende a decir "sin torceduras, se ve suave"). Supongo que si estuviera montando una montaña rusa a lo largo de esa curva, sin embargo , estaría seguro de sentir el cambio.

Glen_b

Por el momento fuera de tiempo ... más tarde

kjetil b halvorsen

Demasiado ver la falta de suavidad probablemente tendremos que elegir los puntos de trazado para incluir los enteros ...

kjetil b halvorsen

¿Podemos hacer que la distribución de Irwin-Hall sea más general?

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