¿Por qué el teorema de Bayes funciona gráficamente?

Desde un punto de vista matemático, el teorema de Bayes tiene mucho sentido para mí (es decir, derivar y probar), pero lo que no sé es si existe o no un argumento geométrico o gráfico agradable que pueda demostrarse para explicar el teorema de Bayes. Intenté buscar en Google una respuesta a esto y, sorprendentemente, no pude encontrar nada en él.

Básicamente, solo dibuje un diagrama de Venn de dos círculos superpuestos que se supone que representan conjuntos de eventos. Llámalos A y B. Ahora la intersección de los dos es P (A, B), que se puede leer la probabilidad de A y B. Por las reglas básicas de probabilidad, P (A, B) = P (A | B) P (SI). Y dado que no hay nada especial en A versus B, también debe ser P (B | A) P (A). Igualar estos dos te da el teorema de Bayes.

El teorema de Bayes es realmente bastante simple. Las estadísticas bayesianas son más difíciles debido a dos razones. Una es que se necesita un poco de abstracción para pasar de hablar sobre roles aleatorios de dados a la probabilidad de que algún hecho sea Verdadero. Se requiere que tengas un previo y este previo afecta la probabilidad posterior que obtienes al final. Y cuando tiene que marginar muchos parámetros en el camino, es más difícil ver exactamente cómo se ve afectado.

Algunos encuentran que esto parece algo circular. Pero realmente, no hay forma de evitarlo. Los datos analizados con un modelo no lo llevan directamente a la Verdad. Nada lo hace. Simplemente le permite actualizar sus creencias de manera consistente.

La otra cosa difícil de las estadísticas bayesianas es que los cálculos se vuelven bastante difíciles, excepto por problemas simples, y es por eso que se recurre a todas las matemáticas para resolverlos. Necesitamos aprovechar cada simetría que podamos para facilitar los cálculos o recurrir a las simulaciones de Monte Carlo.

Entonces, las estadísticas bayesianas son difíciles, pero el teorema de Bayes realmente no lo es en absoluto. ¡No lo pienses más! Se sigue directamente del hecho de que el operador "Y", en un contexto probabilístico, es simétrico. A AND B es lo mismo que B AND A y todos parecen entender eso intuitivamente.

Un argumento físico para explicarlo fue muy claramente representado por Galton en un quincunx de dos etapas a fines del 1800, s.

Ver figura 5 en Stigler, Stephen M. 2010. Darwin, Galton y la ilustración estadística. Revista de la Royal Statistical Society: Serie A 173 (3): 469-482.

Tengo una animación rudimentaria aquí (requiere soporte pdf adecuado para ejecutarse).

También lo he convertido en una alegoría sobre una naranja que cae sobre la cabeza de Galton, que intentaré cargar en el futuro.

O tal vez prefiera la imagen de rechazo ABC aquí .

Un ejercicio basado en esto está aquí .

¡Este artículo del 10 de enero de 2020 en Medium explica con solo una imagen! Presume que

• Una enfermedad rara infecta solo a personas.$1/1000$
• Las pruebas identifican la enfermedad con una precisión del 99%.

Si hay 100,000 personas, 100 personas que tienen la enfermedad rara y el resto 99,900 no la tienen. Si estas 100 personas enfermas se hacen la prueba, daría positivo y prueba negativa. Pero lo que generalmente pasamos por alto es que si se evalúan los 99,900 saludables, el 1% de ellos (es decir, ) dará positivo falso.$\color{green}{99}$$\color{red}{1}$$\color{#e68a00}{999}$

Ahora, si su resultado es positivo, para que tenga la enfermedad, debe ser de las personas enfermas que dieron positivo. El número total de personas que dieron positivo fue . Entonces, la probabilidad de que tenga la enfermedad cuando dio positivo en la prueba es .$1$$\color{green}{99}$$\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}$$\dfrac{\color{green}{99}}{\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}} = 0.0901$