Estimador de máxima verosimilitud - intervalo de confianza

Use el hecho de que para una muestra iid de tamaño , dadas algunas condiciones de regularidad, el MLE es un estimador consistente del parámetro verdadero , y su distribución asintóticamente Normal, con una varianza determinada por el recíproco del Información de Fisher: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ donde es la información de Fisher de una sola muestra. La información observada en el MLE tiende a la información esperada asintóticamente, por lo que puede calcular (digamos 95%) intervalos de confianza con

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

Por ejemplo, si es una variante de Poisson truncada a cero, puede obtener una fórmula para la información observada en términos de MLE (que debe calcular numéricamente): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

Los casos notables excluidos por las condiciones de regularidad incluyen aquellos donde

el parámetro determina el soporte de los datos, por ejemplo, el muestreo de una distribución uniforme entre nada y $\theta$ $\theta$
el número de parámetros molestos aumenta con el tamaño de la muestra

Scortchi - Restablece a Monica
fuente

¿Este método se aplica sin modificar cuando hay restricciones en , por ejemplo, ? ¿Qué pasa con un MLE para parámetros , tal que y ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

quant_dev

If , es decir, el valor verdadero no es igual a uno de los límites.

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

Scortchi - Restablece a Monica

If y, ¿no significaría que la aproximación normal no es aplicable y que necesito más muestras?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

quant_dev

Sí, es solo un intervalo de confianza asintótico.

Scortchi - Restablece a Monica

@quant_dev: No: buscaría una transformación de los parámetros que hicieron que la aproximación Normal sea decente, o utilice otro método.

Scortchi - Restablece a Monica

Estimador de máxima verosimilitud - intervalo de confianza

Respuestas: