Correlación de variables aleatorias log-normales

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Dadas las variables aleatorias normales y con coeficiente de correlación , ¿cómo encuentro la correlación entre las siguientes variables aleatorias lognormales e ?X 2 ρ Y 1 Y 2X1X2ρY1Y2

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

Ahora, si X1=σ1Z1 y X2=σ1Z2 , donde Z1 y Z2 son normales estándar, de la propiedad de transformación lineal, obtenemos:

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1ρ2Z2)

Ahora, ¿cómo ir desde aquí para calcular la correlación entre Y1 y Y2 ?

usuario862
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@ user862, pista: use la función característica de bivariada normal.
mpiktas
2
Vea la ecuación (11) en stuart.iit.edu/shared/shared_stuartfaculty/whitepapers/… (pero tenga cuidado con la horrible composición tipográfica).
whuber

Respuestas:

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Supongo que y . Denotan . LuegoX 2N ( 0 , σ 2 2 ) Z iX1N(0,σ12)X2N(0,σ22)Zi=exp(TXi)

log(Zi)N(0,Tσi2)
para que sea log-normal . AsíZi

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
y
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

Luego, usando la fórmula para mgf de multivariante normal tenemos

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
Entonces
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

Ahora la correlación de e es la covarianza dividida por las raíces cuadradas de las varianzas:Y1Y2

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)
mpiktas
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Tenga en cuenta que siempre que la aproximación sea ​​válida en la fórmula final que se encuentra arriba, uno tiene . ex1+xρY1Y2ρ
danbarros