MLE para distribución triangular?

¿Es posible aplicar el procedimiento MLE habitual a la distribución triangular? - Estoy intentando pero parece que estoy bloqueado en un paso u otro en las matemáticas por la forma en que se define la distribución. Estoy tratando de utilizar el hecho de que sé el número de muestras arriba y abajo de c (sin saber c): estos 2 números son cn y (1-c) n, si n es el número total de muestras. Sin embargo, eso no parece ayudar en la derivación. El momento de los momentos da un estimador para c sin mucho problema. ¿Cuál es la naturaleza exacta de la obstrucción a MLE aquí (si de hecho hay una)?

Más detalles:

Consideremos en y la distribución definida en por: $c$$[0,1]$$[0,1]$

f(x;c)=2(1-x$f(x;c) = \frac{2x}{c}$ si x <c si c <= x
$f(x;c) = \frac{2(1-x)}{(1-c)}$

Tomemos una muestra de iid de esta forma de distribución de la probabilidad de registro de c dada esta muestra:{ x i$n$$\{x_{i}\}$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}ln(f(x_{i}|c))$

Entonces trato de usar el hecho de que dada la forma de , sabemos que las muestras de caerán por debajo de la (desconocida) , y caerá por encima de . En mi humilde opinión, esto permite descomponer la suma en la expresión del log-verosimilitud así:$f$$cn$$c$$(1-c)n$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{cn}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{(1-c)n}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

Aquí, no estoy seguro de cómo proceder. MLE implicará tomar una derivada wrt del log-verosimilitud, pero tengo como el límite superior de la suma, que parece bloquear eso. Podría intentar con otra forma de log-verosimilitud, usando funciones de indicador:$c$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}\{x_{i}<c\}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{n}\{c<=x_{i}\}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

Pero derivar los indicadores tampoco parece fácil, aunque los deltas de Dirac podrían permitir continuar (sin dejar de tener indicadores, ya que necesitamos derivar productos).

Entonces, aquí estoy bloqueado en MLE. ¿Alguna idea?

¿Es posible aplicar el procedimiento MLE habitual a la distribución triangular?

¡Ciertamente! Aunque hay algunas rarezas con las que lidiar, es posible calcular MLE en este caso.

Sin embargo, si por "el procedimiento habitual" se refiere a "tomar derivados de la probabilidad logarítmica y establecerla igual a cero", entonces tal vez no.

¿Cuál es la naturaleza exacta de la obstrucción a MLE aquí (si de hecho hay una)?

¿Has intentado dibujar la probabilidad?

-

Seguimiento después de la aclaración de la pregunta:

La pregunta sobre cómo dibujar la probabilidad no fue un comentario inactivo, sino central en el tema.

MLE implicará tomar un derivado

No. MLE implica encontrar la argmax de una función. Eso solo implica encontrar los ceros de una derivada bajo ciertas condiciones ... que no se mantienen aquí. En el mejor de los casos, si logras hacerlo, identificarás algunos mínimos locales .

Como sugirió mi pregunta anterior, mire la probabilidad.

Aquí hay una muestra, de 10 observaciones de una distribución triangular en (0,1):$y$

0.5067705 0.2345473 0.4121822 0.3780912 0.3085981 0.3867052 0.4177924
0.5009028 0.8420312 0.2588613

Aquí están las funciones de probabilidad y log-verosimilitud para en esos datos: $c$

Las líneas grises marcan los valores de los datos (probablemente debería haber generado una nueva muestra para obtener una mejor separación de los valores). Los puntos negros marcan la probabilidad / log-verosimilitud de esos valores.

Aquí hay un acercamiento cercano al máximo de la probabilidad, para ver más detalles:

Como puede ver en la probabilidad, en muchas de las estadísticas de pedidos, la función de probabilidad tiene 'esquinas' agudas, puntos donde la derivada no existe (lo cual no es sorprendente, el pdf original tiene una esquina y estamos tomando una producto de pdfs). Este (que hay cúspides en las estadísticas de pedidos) es el caso con la distribución triangular, y el máximo siempre ocurre en una de las estadísticas de pedidos. (Que las cúspides ocurran en las estadísticas de orden no es exclusivo de las distribuciones triangulares; por ejemplo, la densidad de Laplace tiene una esquina y, como resultado, la probabilidad de que su centro tenga una en cada estadística de orden).

Como sucede en mi muestra, el máximo ocurre como la estadística de cuarto orden, 0.3780912

Entonces, para encontrar el MLE de en (0,1), solo encuentre la probabilidad en cada observación. El que tiene la mayor probabilidad es el MLE de .$c$$c$

Una referencia útil es el capítulo 1 de " Beyond Beta " de Johan van Dorp y Samuel Kotz. De hecho, el Capítulo 1 es un capítulo de 'muestra' gratuito para el libro; puede descargarlo aquí .

Hay un pequeño artículo encantador de Eddie Oliver sobre este tema con la distribución triangular, creo que en American Statistician (que hace básicamente los mismos puntos; creo que estaba en el Rincón del Maestro). Si puedo localizarlo, lo daré como referencia.

Editar: aquí está:

EH Oliver (1972), Una rareza de máxima verosimilitud,
The American Statistician , Vol. 26, Número 3, junio, p43-44

( enlace del editor )

Si puede obtenerlo fácilmente, vale la pena echarle un vistazo, pero ese capítulo de Dorp y Kotz cubre la mayoría de los temas relevantes, por lo que no es crucial.

A modo de seguimiento de la pregunta en los comentarios, incluso si pudiera encontrar alguna forma de 'suavizar' las esquinas, aún tendría que lidiar con el hecho de que puede obtener múltiples máximos locales:

Sin embargo, podría ser posible encontrar estimadores que tengan muy buenas propiedades (mejor que el método de los momentos), que puede escribir fácilmente. Pero ML en el triangular en (0,1) es unas pocas líneas de código.

Si se trata de grandes cantidades de datos, eso también puede tratarse, pero creo que sería otra cuestión. Por ejemplo, no todos los puntos de datos pueden ser máximos, lo que reduce el trabajo, y hay otros ahorros que se pueden hacer.