Diferencia de variables aleatorias gamma

Dadas dos variables aleatorias independientes $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ e $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ , ¿cuál es la distribución de la diferencia, es decir, $D=X-Y$ ?

Si el resultado no es conocido, ¿cómo haría para obtener el resultado?

Esbozaré cómo se puede abordar el problema y declararé cuál creo que será el resultado final para el caso especial cuando los parámetros de forma son enteros, pero no completaré los detalles.

• Primero, tenga en cuenta que toma valores en ( - ∞ , ∞ ) y por lo tanto f X - Y ( z ) tiene soporte ( - ∞ , ∞ ) .$X-Y$$(-\infty,\infty)$$f_{X-Y}(z)$$(-\infty,\infty)$

• En segundo lugar, a partir de los resultados estándar, la densidad de la suma de dos variables aleatorias continuas independientes es la convolución de sus densidades, es decir, y que la densidad de la variable aleatoria - Y es f - Y ( α ) = f Y ( - α ) , deduzca que f X - Y ( z ) = f X + ( - Y ) ( z ) = ∫ ∞ - ∞ f X ( x ) f - Y ( z - x

  $$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$$ $-Y$$f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $$f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$$

• Tercero, para las variables aleatorias no negativas e Y , tenga en cuenta que la expresión anterior se simplifica a f X - Y ( z $X$$Y$

  $$f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$$

• Finalmente, usando la parametrización para significar una variable aleatoria con densidad λ ( λ x ) s - $\Gamma(s,\lambda)$, y con X∼Γ(s,λ)e$\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$$X \sim \Gamma(s,\lambda)$ variables aleatorias, tenemos para z > 0 que f X - Y ( z $Y \sim \Gamma(t,\mu)$$z > 0$ Del mismo modo, paraz<0, f X - Y ( z

  $$\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$$ $z < 0$ $$\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$$

Estas integrales no son fáciles de evaluar, pero para el caso especial , Gradshteyn y Ryzhik, Tablas de integrales, series y productos, Sección 3.383, enumera el valor de ∫ ∞ 0 x s - 1 ( x + β ) s - 1 exp ( - ν x $s = t$ en términos de funciones polinomiales, exponenciales y de Bessel de β y esto puede usarse para escribir expresiones explícitas para f X - Y ( z ) .

$s$$t$$p(y,z)$$y$$z$$(s+t-2, s-1)$$q(x,z)$$x$$z$$(s+t-2,t-1)$

• $z > 0$$(1)$$s$$y$$1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$$X-Y$$\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$$z > 0$$t$

• $z < 0$$X-Y$$\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$$(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$$(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$$s$

Que yo sepa, la distribución de la diferencia de dos gamma rv independientes fue estudiada por primera vez por Mathai en 1993. Derivó una solución de forma cerrada. No reproduciré su trabajo aquí. En cambio, te señalaré la fuente original. La solución de forma cerrada se puede encontrar en la página 241 como teorema 2.1 en su artículo sobre Laplacianidad generalizada no central de formas cuadráticas en variables normales .