Intervalo de confianza para el muestreo de Bernoulli

Tengo una muestra aleatoria de variables aleatorias de Bernoulli , donde son iidrv y , y es un parámetro desconocido. $X_1 ... X_N$ $X_i$ $P(X_i = 1) = p$ $p$

Obviamente, se puede encontrar una estimación de : . $p$ $\hat{p}:=(X_1+\dots+X_N)/N$

Mi pregunta es ¿cómo puedo construir un intervalo de confianza para ? $p$

confidence-interval binomial bernoulli-distribution ameba dice Reinstate Monica
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La wikipedia tiene detalles sobre cómo calcular los intervalos de confianza para el muestreo de bernoulli .

Respuestas:

Si la , no es cerca de o , y tamaño de la muestra es suficientemente grande (es decir, y , el intervalo de confianza se puede estimar mediante una distribución normal y El intervalo de confianza construido así: $\hat{p}$ $1$ $0$ $n$ $n\hat{p}>5$ $n(1-\hat{p})>5$

$\hat{p} \pm z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$ $\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
$\hat{p} = 0$ $n>30$ $95\%$ $[0,\frac{3}{n}]$ $\hat{p}=1$ $n+1$ $n+b$
$n$ $\hat{p}$

R proporciona funciones binconf {Hmisc}y binom.confint {binom}que se pueden usar de la siguiente manera:

set.seed(0)
p <- runif(1,0,1)
X <- sample(c(0,1), size = 100, replace = TRUE, prob = c(1-p, p))
library(Hmisc)
binconf(sum(X), length(X), alpha = 0.05, method = 'all')
library(binom)
binom.confint(sum(X), length(X), conf.level = 0.95, method = 'all')

Agresti, Alan; Coull, Brent A. (1998). "Aproximado es mejor que 'exacto' para la estimación de intervalos de proporciones binomiales". The American Statistician 52: 119–126.

Jovanovic, BD y PS Levy, 1997. Una mirada a la regla de los tres. El estadístico estadounidense vol. 51, núm. 2, págs. 137-139

Ross, TD (2003). "Intervalos de confianza precisos para la proporción binomial y la estimación de la tasa de Poisson". Computers in Biology and Medicine 33: 509–531.

David LeBauer
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(+1) Buena respuesta. Creo que esto se convertirá en una referencia para preguntas similares en el futuro. Sin embargo, la publicación cruzada es inusual; de hecho, creo que está mal visto porque arruina muchos aspectos del sistema de comentarios / referencias / hilos / comentarios. Considere eliminar una de las copias y reemplazarla por un enlace en un comentario.

whuber

@whuber gracias por los comentarios. He eliminado la otra copia.

David LeBauer el

En la primera fórmula, ¿qué son z1 y alfa?

Cirdec

z_{1 - α / 2}

$z_{1-\alpha/2}$

1 - α / 2

${1-\alpha/2}$

α

$\alpha$

3 / n

$3/n$

Intervalos de confianza de máxima verosimilitud

$p$

$\hat{\beta}_0 = \log(\hat{p}/(1-\hat{p}))$

$\alpha$ $\beta_0$

CI (β_{0})_{α} = {\hat{β}}_{0} \pm Z_{α / 2} \sqrt{1 / (n \hat{p} (1 - \hat{p})}

$\text{CI}(\beta_0)_\alpha = \hat{\beta}_0 \pm \mathcal{Z}_{\alpha/2} \sqrt{1/(n\hat{p}(1-\hat{p})}$

$p$

CI (p)_{α} = 1 / (1 + \exp (- CI (β_{0})_{α})

$\text{CI}(p)_\alpha = 1/(1+\exp(-\text{CI}(\beta_0)_\alpha)$

Este IC tiene el beneficio adicional de que las proporciones se encuentran en el intervalo entre 0 o 1, y el IC siempre es más estrecho que el intervalo normal, mientras que es del nivel correcto. Puede obtener esto muy fácilmente en R especificando:

set.seed(123)
y <- rbinom(100, 1, 0.35)
plogis(confint(glm(y ~ 1, family=binomial)))

    2.5 %    97.5 % 
0.2795322 0.4670450

Intervalos de confianza binomiales exactos

$Y = n\hat{p}$ $(n,p)$ $\hat{p}$

{CI}_{α} = (F_{\hat{p}}^{- 1} (0.025), F_{\hat{p}}^{- 1} (0.975))

$\text{CI}_\alpha = (F^{-1}_{\hat{p}}(0.025), F^{-1}_{\hat{p}}(0.975))$

$p$

qbinom(p = c(0.025, 0.975), size = length(y), prob = mean(y))/length(y)
[1] 0.28 0.47

Intervalos de confianza imparciales medianos

$p$ $p_{1-\alpha/2}$

p_{1 - α / 2} : P (Y = 0) / 2 + P (Y > y) > 0.975

$p_{1-\alpha/2} : P(Y = 0)/2 + P(Y > y) > 0.975$

Esta también es una rutina computacional.

set.seed(12345)
y <- rbinom(100, 1, 0.01) ## all 0
cil <- 0
mupfun <- function(p) {
  0.5*dbinom(0, 100, p) + 
    pbinom(1, 100, p, lower.tail = F) - 
    0.975
} ## for y=0 successes out of n=100 trials
ciu <- uniroot(mupfun, c(0, 1))$root
c(cil, ciu)

[1] 0.00000000 0.05357998 ## includes the 0.01 actual probability

Los dos últimos métodos se implementan en el epitoolspaquete en R.

AdamO
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