Distribución limitante de

Dejar $(X_n)$ ser una secuencia de iid $\mathcal N(0,1)$variables aleatorias. Definir$S_0=0$ y $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ para $n\geq 1$. Encuentre la distribución limitante de

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

Este problema es de un libro de problemas sobre Teoría de la probabilidad, en el capítulo sobre el Teorema del límite central.

Ya que $S_{k-1}$ y $X_k$ son independientes $E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$ y

Tenga en cuenta que el $|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$claramente no son independientes. El problema es de Problemas de probabilidad de Shiryaev , que se basa en el libro de texto del mismo autor. El libro de texto no parece cubrir el CLT para variables correlacionadas. No sé si hay una secuencia de mezcla estacionaria escondida en alguna parte ...

He realizado simulaciones para tener una idea de la respuesta.

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

A continuación se muestra un histograma de $2000$ muestras ($n=20.000$) Parece distribuido con bastante normalidad ...

Cuando simulo la distribución, obtengo algo parecido a una distribución de Laplace. Aún mejor parece ser un q-gausiano (los parámetros exactos que tendrías que encontrar usando la teoría).

Supongo que su libro debe contener alguna variación del CLT que se relacione con eso (teorema del límite central generalizado q, probablemente esté en la Sección 7.6 El teorema del límite central para sumas de variables dependientes , pero no puedo buscarlo ya que no tengo el libro disponible).

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)