Var (X) se conoce, ¿cómo calcular Var (1 / X)?

Si solo tengo $\mathrm{Var}(X)$ , ¿cómo puedo calcular $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$?

No tengo ninguna información sobre la distribución de $X$ , así que no puedo utilizar la transformación, o cualquier otro método que usan la distribución de probabilidad de $X$ .

Es imposible.

Considere una secuencia $X_n$ de variables aleatorias, donde

$$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$$

Luego:

$$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$$

Pero acerca a cero cuandonva al infinito:$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$$n$

$$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$$

Este ejemplo utiliza el hecho de que es invariante bajo las traducciones de X , pero V a r ( $\Var(X)$$X$no lo es.$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Pero incluso si suponemos que , no podemos calcular V a r ( $\mathrm{E}(X)=0$: Let$\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

$$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

y

$$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$$

Entonces acerca a 1 cuando n va al infinito, pero V a r ( $\Var(X_n)$$n$para todon.$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$$n$

Puede usar la serie Taylor para obtener una aproximación de los momentos de orden inferior de una variable aleatoria transformada. Si la distribución es bastante "ajustada" alrededor de la media (en un sentido particular), la aproximación puede ser bastante buena.

Así por ejemplo

$$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$$

entonces

$$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$$

a menudo solo se toma el primer término

$$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$$

En este caso (suponiendo que no cometí un error), con ,Var[$g(X)=\frac{1}{X}$.$\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: expansiones de Taylor para los momentos de funciones de variables aleatorias

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Algunos ejemplos para ilustrar esto. Generaré dos muestras (distribuidas en gamma) en R, una con una distribución 'no tan ajustada' sobre la media y otra un poco más ajustada.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

$1/a$$(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

$1/648 \approx 0.00154$

Ahora para el más apretado:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

$1/a$$(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

$\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$