¿Por qué la suma de probabilidades en una distribución uniforme continua no es infinita?

La función de densidad de probabilidad de una distribución uniforme (continua) se muestra arriba. El área bajo la curva es 1, lo que tiene sentido ya que la suma de todas las probabilidades en una distribución de probabilidad es 1.

Formalmente, la función de probabilidad anterior (f (x)) se puede definir como

1 / (ba) para x en [a, b]

y 0 de lo contrario

Considere que tengo que elegir un número real entre a (digamos, 2) yb (digamos, 6). Esto hace que la probabilidad uniforme sea 0.25. Sin embargo, dado que hay un número infinito de números en ese intervalo, ¿no debería la suma de todas las probabilidades sumar hasta el infinito? ¿Qué estoy pasando por alto?

¿No es f (x) la probabilidad de que ocurra el número x?

a a + .1 a $f(x)$ describe la densidad de probabilidad en lugar de una masa de probabilidad en su ejemplo. En general, para distribuciones continuas, los eventos ( las cosas para las que tenemos probabilidades) son rangos de valores, como el área bajo la curva de a o de a (aunque dichos rangos no necesitan ser contiguos) . Para distribuciones continuas, la probabilidad de que ocurra un valor único es generalmente 0.$a$$a+.1$$a$$b$

Porque cada término en la suma es ponderado por el infinitesimal d . La importancia de esto probablemente se entienda más fácilmente al caminar cuidadosamente a través de un ejemplo muy básico.$x$

Considere usar la suma de Riemann para calcular el área bajo la siguiente región rectangular (se eligió un rectángulo para eliminar el aspecto de aproximación de la suma de Riemann, que no es el foco aquí): ] Podemos calcular el área usando 2 subregiones, o usando 4 subregiones . En el caso de las 2 subregiones (denotadas ), las áreas están dadas por mientras que en el caso de 4 subregiones (denotadas ), las áreas están dadas por El área total en ambos casos corresponde a Ahora, todo esto es bastante obvio, pero plantea un pregunta sutilmente importante que es: ¿por qué estas dos respuestas están de acuerdo?$A_i$

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ $B_i$ $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ ? Intuitivamente, debe quedar claro que funciona porque hemos reducido la anchura de la segunda serie de subregiones. Podríamos considerar hacer lo mismo con 8 subregiones, cada una con un ancho de , y nuevamente con 16 ... y podríamos continuar este proceso hasta que tengamos un número infinito de subregiones, cada una con un ancho minúsculo de d . Siempre que todo esté correctamente ponderado, las respuestas siempre deben estar de acuerdo. Sin la ponderación correcta, la suma sería simplemente .$0.5$$x$$\infty$

Es por eso que siempre me aseguro de señalar a los estudiantes que una integral no es simplemente el símbolo , sino el par de símbolos .$\int$$\int \text dx$

Está interpretando la distribución de probabilidad de la manera incorrecta: es un número infinito de probabilidades divididas infinitamente, por lo que no puede decir que "la probabilidad de obtener el valor 0.5 de una distribución uniforme (0, 1)" porque esa probabilidad es cero: hay un número infinito de valores posibles que podría obtener, y todos ellos son igualmente probables, por lo que claramente la probabilidad de cualquier resultado individual es ^[1] .$\frac{1}{\infty} = 0$

En cambio, puede ver la probabilidad de un rango de resultados y medir eso usando áreas (y, por lo tanto, integrales). Por ejemplo, si se dibuja desde el (0, 1) distribución uniforme (con pdf para y de otra forma), entonces la probabilidad que su resultado se encuentra entre y esx ∈ [ 0 , 1 ] f ( x ) = 0 0.2 $f(x) = 1$$x \in \left[0, 1\right]$$f(x) = 0$$0.2$$0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

es decir, tienes un 10% de posibilidades de obtener un resultado en ese rango.

^[1] Perdón por todas las personas que tienen ataques cardíacos por mi simplificación excesiva del cálculo.

En general, su razonamiento falla en esta suposición:

Sin embargo, dado que hay un número infinito de números en ese intervalo, ¿no debería la suma de todas las probabilidades sumar hasta el infinito?

Es un problema matemático, conocido desde las paradojas de Zenón de Elea .

Dos de sus afirmaciones fueron que

1. Una flecha nunca puede alcanzar su objetivo
2. Aquiles nunca alcanzará a una tortuga

Ambos se basaron en la afirmación de que puedes construir una secuencia infinita de números positivos (en el primer caso al decir que una flecha tiene que volar infinitamente la mitad del camino restante hacia el objetivo, en el segundo al decir que Aquiles tiene para alcanzar la posición donde estaba anteriormente la tortuga, y mientras tanto la tortuga se mueve a una nueva posición que se convierte en nuestro próximo punto base de referencia).

Avance rápido, esto condujo al descubrimiento de sumas infinitas.

Entonces, en general, la suma de infinitos números positivos no necesariamente tiene que ser infinito ; sin embargo, puede que no sea infinito solo si (una simplificación excesiva extrema, perdón por eso) casi todos los números en la secuencia están muy cerca de 0, independientemente de cuán cerca de cero solicite que estén.

Infinity juega aún más trucos. ¡El orden en el que agrega elementos de la secuencia también es importante y puede llevar a una situación en la que la reordenación da resultados diferentes!

Explora un poco más sobre las paradojas del infinito . Podrías estar asombrado.

$f(x)$$\frac{p}{x}$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$\frac{p}{x}$

Espero que esto tenga sentido.