Límites en la diferencia de variables aleatorias correlacionadas

Dadas dos variables aleatorias altamente correlacionadas e , me gustaría limitar la probabilidad de que la diferenciaexcede cierta cantidad: $X$$Y$$|X - Y|$

$$P( |X - Y| > K) < \delta$$

Asuma por simplicidad que:

• Se sabe que el coeficiente de correlación es "alto", por ejemplo: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$

• $X,Y$ son cero significa:$\mu_x = \mu_y = 0$

• $-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (o si eso es más fácil)$0 \leq x_i, y_i \leq 1$

• (Si facilita las cosas, digamos que tienen una varianza idéntica: )$X,Y$$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

No estoy seguro de lo factible que es obtener un límite en la diferencia dada solo la información anterior (ciertamente no pude llegar a ninguna parte). Una solución específica (si la hubiera), restricciones adicionales obligatorias para imponer en las distribuciones, o simplemente consejos sobre un enfoque sería genial.

Incluso sin esos supuestos simplificadores, se puede obtener un límite combinando un par de herramientas habituales:

• La varianza de la diferencia de dos variables correlacionadas . Nos permite convertir un problema de dos variables en un problema univariante.
• La desigualdad de Chebyshev . Pone un límite a la probabilidad de exceder un valor dado.

En cierto detalle:

$$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$$

$$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$$

$$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$$

Según la desigualdad de Chebyshev, para cualquier variable aleatoria :$Z$

$$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$$

Entonces (y usando eso :$\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

$$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$$

Podemos usar los supuestos de simplificación propuestos para obtener una expresión más simple. Cuando:

$$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$$ $$\mu_x = \mu_y = 0$$ $$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$$

Entonces:

$$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$$

Y por lo tanto:

$$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$$

Curiosamente, este resultado se cumple incluso si no es pequeño, y si la condición para la correlación cambia de a , el resultado no cambia (porque ya es una desigualdad).$\epsilon$$=1-\epsilon$$\geq 1-\epsilon$