PDF uniforme de la diferencia de dos rv

¿Es posible hacer que el PDF de la diferencia de dos iid rv se vea como un rectángulo (en lugar de, digamos, el triángulo que obtenemos si los rv se toman de la distribución uniforme).

es decir, ¿es posible que el PDF f de jk (para dos iid rv tomados de alguna distribución) tenga f (x) = 0.5 para todos -1 <x <1?

No hay restricciones en la distribución de la que tomamos j y k, excepto que el mínimo es -1 y el máximo es 1.

Después de experimentar un poco, estoy pensando que esto podría ser imposible.

Teorema: no hay distribución para la cual cuando .$\text{Dist}$$A-B \sim \text{U}(-1,1)$$A, B \sim \text{IID Dist}$

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Prueba: Considere dos variables aleatorias con función característica común . Denotando su diferencia por . La función característica de la diferencia es:$A, B \sim \text{IID Dist}$$\varphi$$D=A-B$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

(La cuarta línea de este trabajo se deriva del hecho de que la función característica es hermitiana ). Ahora, tomar da una forma específica para , que es:$D \sim \text{U}(-1,1)$$\varphi_D$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

donde este último es la función sinc (no normalizada) . Por lo tanto, para cumplir con los requisitos de , requerimos una función característica con la norma al cuadrado dada por:$\text{Dist}$$\varphi$

$$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$$

El lado izquierdo de esta ecuación es una norma al cuadrado y, por lo tanto, no es negativa, mientras que el lado derecho es una función que es negativa en varios lugares. Por lo tanto, no hay solución para esta ecuación, por lo que no existe una función característica que satisfaga los requisitos para la distribución. (Sugerencias para Fabian por señalar esto en una pregunta relacionada sobre Matemáticas . SE .) Por lo tanto, no hay distribución con los requisitos del teorema. $\blacksquare$

Esta es la opinión de un ingeniero eléctrico sobre el asunto, con un punto de vista que es más adecuado para dsp.SE en lugar de stats.SE, pero no importa.

Suponga que e son variables aleatorias continuas con pdf común . Entonces, si denota , tenemos que La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que tiene un máximo en . De hecho, dado que es en realidad la función de "autocorrelación" de considerada como una "señal", debe tener un máximo único en y, por lo tanto, no puede distribuirse uniformemente como se desea. Alternativamente, si$X$$Y$$f(x)$$Z$$X-Y$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$$ $f_Z(z)$$z=0$$f_Z$$f$$z=0$$Z$ $f_Z$eran de hecho una densidad uniforme (recuerde que también es una función de autocorrelación), entonces la "densidad espectral de potencia" de (considerada como una señal) sería una función sinc y, por lo tanto, no una función no negativa, ya que todas las densidades espectrales de potencia deben ser . Ergo, la suposición de que es una densidad uniforme conduce a una contradicción y, por lo tanto, la suposición debe ser falsa.$f_Z$$f_Z$

La afirmación de que es obviamente inválida cuando la distribución común de e contiene átomos, ya que en ese caso la distribución de también contendrá átomos. Sospecho que la restricción de que e tienen un pdf se puede eliminar y se puede construir una prueba puramente teórica de medida para el caso general cuando e no necesariamente disfrutan de un pdf (pero su diferencia sí).$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Y$