¿Se enfatiza demasiado la teoría de la estimación imparcial de la varianza mínima en la escuela de posgrado?

Recientemente me sentí muy avergonzado cuando di una respuesta inesperada sobre las estimaciones imparciales de varianza mínima para los parámetros de una distribución uniforme que estaba completamente equivocado. Afortunadamente, el cardenal y Henry me corrigieron inmediatamente con Henry proporcionando las respuestas correctas para el OP .

Sin embargo, esto me hizo pensar. Aprendí la teoría de los mejores estimadores imparciales en mi clase de estadística matemática de posgrado en Stanford hace unos 37 años. Recuerdo el teorema de Rao-Blackwell, el límite inferior Cramer - Rao y el teorema de Lehmann-Scheffe. Pero como estadístico aplicado, no pienso mucho en los UMVUE en mi vida diaria, mientras que la estimación de máxima probabilidad surge mucho.

¿Porqué es eso? ¿Enfatizamos demasiado la teoría UMVUE en la escuela de posgrado? Creo que sí. En primer lugar, la imparcialidad no es una propiedad crucial. Muchos MLE perfectamente buenos son parciales. Los estimadores de contracción de Stein están sesgados pero dominan el MLE imparcial en términos de pérdida de error cuadrático medio. Es una teoría muy hermosa (estimación UMVUE), pero muy incompleta y creo que no es muy útil. ¿Qué piensan los demás?

Lo sabemos

Si sea ​​una muestra aleatoria de entonces para cualquier es un UE de$X_1,X_2, \dots X_n$$Poisson(\lambda)$$\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$$\lambda$

Por lo tanto, existe infinitamente muchos UE de . Ahora surge una pregunta, ¿ cuál de estos deberíamos elegir? entonces llamamos UMVUE. Además, la imparcialidad no es una buena propiedad, pero UMVUE es una buena propiedad. Pero no es extremadamente bueno.$\lambda$

Si sea ​​una muestra aleatoria de entonces el estimador MSE mínimo de la forma , con para el parámetro , es Pero está sesgado, es decir, no es UMVUE, aunque es mejor en términos de MSE mínimo.$X_1,X_2, \dots X_n$$N(\mu, \sigma^2)$$T_\alpha =\alpha S^2$$(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$$\sigma^2$$\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$

Tenga en cuenta que el teorema de Rao-Blackwell dice que para encontrar UMVUE podemos concentrarnos solo en aquellos UE que son función de estadística suficiente, es decir, el UMVUE es el estimador que tiene una variación mínima entre todos los UE que son función de estadística suficiente. Por lo tanto, UMVUE es necesariamente una función de una estadística suficiente.

MLE y UMVUE son buenos desde un punto de vista. Pero nunca podemos decir que uno de ellos es mejor que otro. En estadística tratamos con datos inciertos y aleatorios. Por lo tanto, siempre hay margen de mejora. Podemos obtener un mejor estimador que MLE y UMVUE.

Creo que no enfatizamos demasiado la teoría UMVUE en la escuela de posgrado, es mi punto de vista personal. Creo que la etapa de graduación es una etapa de aprendizaje. Entonces, un estudiante graduado debe tener una buena base sobre UMVUE y otros estimadores,

Quizás el artículo de Brad Efron "Teoría de la máxima probabilidad y decisión" pueda ayudar a aclarar esto. Brad mencionó que una dificultad principal con el UMVUE es que, en general, es difícil de calcular y, en muchos casos, no existe.