¿Cuáles son algunas distribuciones sobre la probabilidad simplex?

Sea la probabilidad simplex de la dimensión K - 1 , es decir, x ∈ Δ K es tal que x i ≥ 0 y ∑ i x i = 1 .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

¿Qué distribuciones que son frecuentes (o bien conocidas, o definidas en el pasado) sobre existen?$\Delta_{K}$

Claramente, están las distribuciones Dirichlet y Logit-Normal. ¿Hay otras distribuciones que surgen naturalmente en este contexto?

Esto se estudia en el análisis de datos de composición, hay un libro de Aitchison: El análisis estadístico de datos de composición .

Defina el simplex por

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ ¡Tenga en cuenta que usamos el índicenpara indicar la dimensión! Definir la media geométrica de un elemento del simplex, x como ˜ x . Entonces podemos definir la transformación logratio (introducida por Aitchison) como x = ( x 1 , ... , x$n$$x$$\tilde{x}$$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$. está en${\mathbb R}^n$, así que tenga un inverso que le dejo calcular (también hay otras versiones de esta transformación que pueden usarse, que tal vez tenga mejores propiedades matemáticas, más sobre eso más adelante).

Ahora puede tomar una distribución normal (o lo que sea) definida en ${\mathbb R}^n$ y usar esta transformación inversa para definir una distribución en el simplex. Las posibilidades son ilimitadas, para todas y cada una de las distribuciones multivariadas en ${\mathbb R}^n$ obtenemos una distribución en el simplex.

Aumentaré esta publicación más adelante con algunos ejemplos y más detalles sobre las transformaciones de relación de registro.