¿Puede una distribución conjunta 3D ser reconstruida por marginales 2D?

Supongamos que sabemos p (x, y), p (x, z) y p (y, z), ¿es cierto que la distribución conjunta p (x, y, z) es identificable? Es decir, ¿solo hay una posible p (x, y, z) que tiene márgenes superiores?

No. Tal vez las preocupaciones contraejemplo más simples la distribución de tres independiente las variables x i , para el cual los ocho posibles resultados de ( 0 , 0 , 0 ) a través de son igualmente probables. Esto hace que las cuatro distribuciones marginales sean uniformes en .$\text{Bernoulli}(1/2)$$X_i$$(0,0,0)${ ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) $(1,1,1)$$\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Considere las variables aleatorias que se distribuyen uniformemente en el conjunto . Estos tienen los mismos que .{ ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) } ( X 1 , X 2 , X 3$(Y_1,Y_2,Y_3)$$\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$$(X_1,X_2,X_3)$

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La portada de Godel, Escher, Bach de Douglas Hofstadter sugiere las posibilidades.

Las tres proyecciones ortogonales (sombras) de cada uno de estos sólidos en los planos de coordenadas son las mismas, pero los sólidos obviamente difieren. Aunque las sombras no son exactamente lo mismo que las distribuciones marginales, funcionan de manera bastante similar para restringir, pero no determinar por completo , el objeto 3D que las proyecta.

En el mismo espíritu que la respuesta de Whuber,

Considere las variables aleatorias conjuntas continuas con la función de densidad conjunta donde denota la función de densidad normal estándar.f U , V , W ( u , v , w ) = { 2 ϕ ( u ) ϕ ( v ) ϕ ( w ) si u ≥ 0 , v ≥ 0 , w ≥ 0 $U, V, W$

$$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$$ $\phi(\cdot)$

Está claro que y son variables aleatorias dependientes . También es claro que son no de forma conjunta las variables aleatorias normales. Sin embargo, los tres pares son variables aleatorias independientes por pares : de hecho, variables aleatorias normales estándar independientes (y, por lo tanto, variables aleatorias normales por parejas). En resumen, son un ejemplo de variables aleatorias normales estándar independientes entre pares pero no independientes entre sí. Vea esta respuesta mía para más detalles.$U, V$$W$$(U,V), (U,W), (V,W)$$U,V,W$

Por el contrario, si son variables aleatorias normales estándar mutuamente independientes, entonces también son variables aleatorias independientes por pares, pero su densidad conjunta es$X,Y,Z$

$$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$$ que no es lo mismo que la densidad conjunta en . Por lo tanto, NO, no podemos deducir el pdf conjunto trivariado de los pdf bivariados incluso en el caso en que las distribuciones univariadas marginales son normales estándar y las variables aleatorias son independientes por pares.$(1)$

Básicamente, se pregunta si la reconstrucción CAT es posible utilizando solo imágenes a lo largo de los 3 ejes principales.

No es ... de lo contrario, eso es lo que harían. :-) Ver la transformación de radón para más literatura.