Si

Para una variable aleatoria continua $X$ , si $E(|X|)$ es finito, ¿es $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

Este es un problema que encontré en Internet, pero no estoy seguro de si es válido o no.

Sé que $n P(|X|>n)<E(|X|)$ sostiene por la desigualdad de Markov, pero no puedo mostrar que vaya a 0 cuando $n$ va al infinito.

probability expected-value probability-inequalities 456 123
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(1) No se necesita continuidad. (2) Expresar la expectativa como parte integral de la función de supervivencia

. (3) Considere el contrapositivo: ¿qué implicaría un límite distinto de cero acerca de la expectativa?

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$

whuber

@whuber buen ejercicio! Creo que tengo una respuesta correcta, pero como parece self-study, no creo que deba escribirla aquí. ¿Puedo crear una sala de chat privada y mostrarle mi solución, para que pueda decirme si es correcta?

DeltaIV

@Delta Este es un caso en el que publicar su respuesta me parecería bien: el OP tiene una subpregunta específica y no parece que solo esté buscando respuestas de tarea.

whuber

@whuber esto me recuerda a la no existencia de una distribución uniforme sobre los números naturales - quiere decir esto que, si bien la continuidad no es necesaria aquí, aditividad numerable es ?

Bill Clark

Respuestas:

Observe la secuencia de variables aleatorias definidas reteniendo solo valores grandes de : Está claro que , entonces $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

Tenga en cuenta que

para cada

. Entonces, el LHS de (1) tiende a cero porconvergencia dominada.

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

grand_chat
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Creo que te refieres a "RHS" en tu oración final, de lo contrario, ¡buen trabajo!

jbowman

@jbowman, s / he significa

por el teorema de convergencia dominado (tenga en cuenta que

sí solo no es suficiente para llegar a esa conclusión).

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

Agregué

@ P.Windridge: no leí con suficiente atención y asocié "So the LHS" con la ecuación 1, en lugar de con la oración anterior. Culpa mía.

jbowman

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

$Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

Así

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

$\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

Entonces

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

por el teorema del sandwich.

DeltaIV
fuente

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

E [Y]

$E[Y]$

@ P.Windridge, ¡ah! No me di cuenta de que MCT no requiere la suposición. Eché un vistazo al DCT, por eso pensé que no lo necesitaba para mi prueba :) Pago el precio de no haber sido enseñado sobre la integración de Lebesgue en la universidad ... por esta razón, estoy acostumbrado a hacer cálculo de probabilidad en términos de archivos PDF, en lugar de en términos de medidas.

DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

Aldehu
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