Regresión cuantil que revela diferentes relaciones en diferentes cuantiles: ¿cómo?

A veces se dice que la regresión cuantil (QR) revela diferentes relaciones entre variables en diferentes cuantiles de la distribución. Por ejemplo, Le Cook et al. "Pensar más allá de la media: una guía práctica para el uso de métodos de regresión cuantil para la investigación en servicios de salud" implica que QR permite que las relaciones entre los resultados de interés y las variables explicativas no sean constantes en los diferentes valores de las variables.

Sin embargo, hasta donde yo sé, en un modelo de regresión lineal estándar con siendo iid e independiente de , el estimador QR para la pendiente

$$y = \beta_0 + \beta X + \varepsilon$$ $\varepsilon$$X$$\beta$es consistente para la pendiente de la población (que es única y no varía de ningún modo entre los cuantiles). Es decir, el objeto que se estima es siempre el mismo, independientemente del cuantil. Es cierto que este no es el caso para la intercepción, ya que el estimador de intercepción QR tiene como objetivo estimar un cuantil particular de la distribución de errores. Tomados en conjunto, no veo cómo se supone que las diferentes relaciones entre las variables se revelen en diferentes cuantiles a través del QR. Supongo que esto es una propiedad del modelo de regresión lineal estándar en lugar de un error en mi comprensión, pero no estoy seguro.

Supongo que la situación es diferente cuando se violan algunos de los supuestos del modelo lineal estándar, por ejemplo, bajo ciertas formas de heterocedasticidad condicional. Entonces, tal vez los estimadores de la pendiente QR convergen en algo más que la pendiente verdadera del modelo lineal y de alguna manera revelan diferentes relaciones en diferentes cuantiles.

¿Qué me estoy equivocando? ¿Cómo debería entender / interpretar adecuadamente la afirmación de que la regresión cuantil revela diferentes relaciones entre variables en diferentes cuantiles?

La "pendiente verdadera" en un modelo lineal normal le dice cuánto cambia la respuesta media gracias a un aumento de un punto en$x$. Al asumir la normalidad y la varianza igual, todos los cuantiles de la distribución condicional de la respuesta se mueven en línea con eso. A veces, estos supuestos son muy poco realistas: la varianza o asimetría de la distribución condicional depende de$x$ y así, sus cuantiles se mueven a su propia velocidad al aumentar $x$. En QR, verá esto inmediatamente a partir de estimaciones de pendiente muy diferentes. Como OLS solo se preocupa por la media (es decir, el cuantil promedio), no puede modelar cada cuantil por separado. Allí, confía plenamente en el supuesto de la forma fija de la distribución condicional al hacer declaraciones en sus cuantiles.

EDITAR: incrustar comentarios e ilustrar

Si está dispuesto a hacer suposiciones sólidas, no tiene mucho sentido ejecutar QR, ya que siempre puede calcular cuantiles condicionales a través de la media condicional y la varianza fija. Las pendientes "verdaderas" de todos los cuantiles serán iguales a la pendiente verdadera de la media. En una muestra específica, por supuesto, habrá alguna variación aleatoria. O incluso podría detectar que sus suposiciones estrictas estaban equivocadas ...

Permítanme ilustrar con un ejemplo en R. Muestra la línea de mínimos cuadrados (negro) y luego en rojo los cuantiles modelados de datos de 20%, 50% y 80% simulados de acuerdo con la siguiente relación lineal

$$y = x + x \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, 1) \ \text{iid},$$ para que no solo la media condicional de $y$ depende de $x$ pero también la varianza.

• Las líneas de regresión de la media y la mediana son esencialmente idénticas debido a la distribución condicional simétrica. Su pendiente es 1.
• La línea de regresión del cuantil del 80% es mucho más pronunciada (pendiente 1.9), mientras que la línea de regresión del cuantil del 20% es casi constante (pendiente 0.3). Esto se adapta bien a la variación extremadamente desigual.
• Aproximadamente el 60% de todos los valores están dentro de las líneas rojas externas. Forman un intervalo de pronóstico simple y puntual del 60% en cada valor de$x$.

El código para generar la imagen:

library(quantreg)

set.seed(3249)
n <- 1000
x <- seq(0, 1, length.out = n)
y <- rnorm(n, mean = x, sd = x)

plot(y~x)

(fit_lm <- lm(y~x)) # intercept: 0.02445, slope: 1.04858 
abline(fit_lm, lwd = 3)

# quantile cuts
taus <- c(0.2, 0.5, 0.8)

(fit_rq <- rq(y~x, tau = taus))
#               tau= 0.2      tau= 0.5    tau= 0.8
# (Intercept) 0.00108228 -0.0005110046 0.001089583
# x           0.29960652  1.0954521888 1.918622442

lapply(seq_along(taus), function(i) abline(coef(fit_rq)[, i], lwd = 2, lty = 2, col = "red"))