Si X e Y no están correlacionados, ¿X ^ 2 e Y tampoco están correlacionados?

29

Si dos variables aleatorias e no están correlacionadas, ¿podemos saber también que e no están correlacionadas? Mi hipótesis es si. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

no correlacionado significa , o $X, Y$ $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

¿Eso también significa lo siguiente?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence Vegard Stikbakke
fuente

44

Sí. Esta pregunta ya se ha hecho y respondido antes, pero no puedo encontrar una referencia específica de mi dispositivo móvil.

Dilip Sarwate

2

@DilipSarwate parece que la respuesta aceptada ya da un ejemplo contrario.

Vim

8

@DilipSarwate ¡Debiste haber querido decir "No" en lugar de "Sí" en tu comentario!

ameba dice Reinstate Monica

11

@amoeba La versión original de la pregunta sobre la independencia para la cual la respuesta es sí. Desde entonces se ha editado para preguntar sobre variables aleatorias no correlacionadas. No puedo cambiar mi comentario ahora.

Dilip Sarwate

La pregunta original era bastante confusa, ya que utilizaba una definición incorrecta de independencia. La pregunta actual sigue siendo confusa, ya que afirma una deducción inapropiada por no estar correlacionada (supone que

). Espero que @vegardstikbakke lea sobre las definiciones adecuadas de independiente y no correlacionadas, con algunos ejemplos.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

Meni Rosenfeld

Respuestas:

59

No. Un contraejemplo:

Deje que se distribuya uniformemente en , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Entonces y también ( es una función impar), por lo que no están correlacionados. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Pero $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

La última desigualdad se deriva de la desigualdad de Jensen. También se deduce del hecho de que ya que no es constante. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

El problema con su razonamiento es que puede depender de y viceversa, por lo que su penúltima igualdad no es válida. $f_X$ $y$

Jakub Bartczuk
fuente

8

No hay necesidad de hacerlo más complicado con la desigualdad de Jensen;

es una variable aleatoria no negativa y no es

wp 1, por lo que

(o simplemente puede hacer

y ver fácilmente su valor positivo).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

Batman

1

También deberías agregar una trama. Había estado considerando un ejemplo similar (Y = | X | en -1: +1) pero lo habría presentado visualmente.

Anony-Mousse

2

@Batman Realmente no veo cómo te da algo ya que estamos interesados si

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

Jakub Bartczuk

1

@ Anony-Mousse No es necesario restringir Y. Y = | X | cumple el requisito

Loren Pechtel

LorenPechtel para visualización. Porque en mi humilde opinión, es mejor ver por qué esto puede suceder, y no solo que el resultado matemático sea el deseado.

Anony-Mousse

20

Incluso si , no solo es posible que e estén correlacionados, sino que incluso puedan estar perfectamente correlacionados, con : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

O : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

$X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

$X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

Lepisma
fuente

9

$E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

Luca Citi
fuente