¿"Variable aleatoria absolutamente continua" vs. "Variable aleatoria continua"?

En el libro "Teoremas del límite de la teoría de la probabilidad" de Valentin V. Petrov, vi una distinción entre las definiciones de una distribución que es "continua" y "absolutamente continua", que se establece de la siguiente manera:

X P ( X ∈ B ) = 0 B P ( X ∈ B ) = 0 B$(*)$ "... Se dice que la distribución de la variable aleatoria es continua si para cualquier conjunto finito o contable de puntos de la línea real. Se dice ser absolutamente continuo si para todos los conjuntos Borel de Lebesgue miden cero ... "$X$$P\left(X \in B\right)=0$$B$$P\left(X \in B\right)=0$$B$

El concepto con el que estoy familiarizado es:

$(\#)$ "Si una variable aleatoria tiene una función de distribución acumulativa continua, entonces es absolutamente continua".

( ∗ ) ( # $\textbf{My questions are:}$ ¿las dos descripciones sobre "continuidad absoluta" en y hablan de lo mismo? En caso afirmativo, ¿cómo puedo traducir una explicación a la otra?$(*)$$(\#)$

¡Gracias!

Las descripciones difieren: solo la primera $(*)$ es correcta. Esta respuesta explica cómo y por qué.

Distribuciones continuas

Una distribución "continua" $F$ es continua en el sentido habitual de una función continua . Una definición (generalmente la primera que encuentran las personas en su educación) es que para cada $x$ y para cualquier número $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta$ (dependiendo de $x$ y $\epsilon$ ) para el cual los valores de $F$ en el vecindario $\delta$ de $x$ varían por no más de $\epsilon$ de $F(x)$ .

$F$$X$$\Pr(X=x)=0$$x$$\delta$$\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$$\epsilon \gt 0$$\Pr(X=x)$$\epsilon$$\Pr(X=x)=0$$B$

Distribuciones absolutamente continuas

Todas las funciones de distribución definen medidas positivas finitas determinadas por$F$μ F $\mu_F$

La continuidad absoluta es un concepto de teoría de la medida. Una medida es absolutamente continua con respecto a otra medida (ambas definidas en el mismo álgebra sigma) cuando, por cada conjunto medible , implica . En otras palabras, en relación con , no hay conjuntos "pequeños" (medida cero) a los que asigna una "grande" (distinta de cero).$\mu_F$$\lambda$$E$$\lambda(E)=0$$\mu_F(E)=0$$\lambda$$\mu_F$

Vamos a tomar como la medida habitual de Lebesgue, para la cual es la longitud de un intervalo. La segunda mitad de establece que la medida de probabilidad es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue.$\lambda$$\lambda((a,b]) = b-a$$(*)$$\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

La continuidad absoluta está relacionada con la diferenciabilidad. La derivada de una medida con respecto a otra (en algún momento ) es un concepto intuitivo: tome un conjunto de vecindades medibles de que se reduzcan a y compare las dos medidas en esas vecindades. Si siempre se acercan al mismo límite, no importa qué secuencia de vecindades se elija, entonces ese límite es la derivada. (Hay un problema técnico: debe restringir esos vecindarios para que no tengan formas "patológicas". Eso se puede hacer exigiendo que cada vecindario ocupe una porción no despreciable de la región en la que se encuentra).$x$$x$$x$

La diferenciación en este sentido es precisamente cuál es la pregunta en ¿Cuál es la definición de probabilidad en una distribución continua? se dirige.

Escribamos para la derivada de con respecto a . El teorema relevante: es una versión teórica de la medida del teorema fundamental del cálculo .$D_\lambda(\mu_F)$$\mu_F$$\lambda$

$\mu_F$ es absolutamente continuo con respecto a si y solo si para cada conjunto medible . [Rudin, teorema 8.6]$\lambda$

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ $E$

En otras palabras, la continuidad absoluta (de con respecto a ) es equivalente a la existencia de una función de densidad .$\mu_F$$\lambda$D λ ( μ F ) $D_\lambda(\mu_F)$

Resumen

1. Una distribución es continua cuando es continua como una función: intuitivamente, no tiene "saltos".$F$$F$

2. Una distribución es absolutamente continua cuando tiene una función de densidad (con respecto a la medida de Lebesgue).$F$

Los ejemplos demuestran que los dos tipos de continuidad no son equivalentes , como el que se relata en https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Esta es la famosa función de Cantor . Para esta función, está casi en todas partes horizontal (como su gráfico lo aclara), de donde está en casi todas partes cero, y por lo tanto . Obviamente, esto no da el valor correcto de (de acuerdo con el axioma de probabilidad total).$F$$D_\lambda(\mu_F)$$\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$$1$

Comentarios

Prácticamente todas las distribuciones utilizadas en aplicaciones estadísticas son absolutamente continuas, en ningún lugar continuas (discretas) o mezclas de las mismas, por lo que la distinción entre continuidad y continuidad absoluta a menudo se ignora. Sin embargo, no apreciar esta distinción puede conducir a un razonamiento confuso y una mala intuición, especialmente en los casos en que el rigor es más necesario: es decir, cuando una situación es confusa o no intuitiva, entonces confiamos en las matemáticas para llevarnos a los resultados correctos. Es por eso que generalmente no hacemos gran cosa de estas cosas en la práctica, pero todos deberían saberlo.

Referencia

Rudin, Walter. Análisis real y complejo . McGraw-Hill, 1974: secciones 6.2 (Continuidad absoluta) y 8.1 (Derivadas de medidas).