¿Cuál es la diferencia entre la función generadora de momento y la función generadora de probabilidad?

Estoy confundido entre los dos términos "función generadora de probabilidad" y "función generadora de momento". ¿Cómo difieren esos términos?

La función de generación de probabilidad se usa generalmente para variables aleatorias con valor entero (no negativo), pero en realidad es solo un reempaquetado de la función de generación de momento. Entonces los dos contienen la misma información.

Deje ser una variable aleatoria no negativa. Entonces (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) la función de generación de probabilidad se define como G ( z ) = E z X y la función de generación de momento es M X ( t ) = E e t X Ahora defina log z = t para que e t = z . Entonces G ( z ) = E z X = $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ Entonces, para concluir, la relación es simple: G ( z ) = M X ( log z $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carl escribe en un comentario sobre esta mi fórmula "... lo cual es cierto, excepto cuando es falso", así que necesito algunos comentarios. Por supuesto, la igualdad supone que ambos están definidos y un dominio para la variable $G(z) = M_X(\log z)$$z$necesita ser dado Pensé que la publicación era lo suficientemente clara sin esas formalidades, pero sí, a veces soy demasiado informal. Pero hay otro punto: sí, la función de generación de probabilidad se usa principalmente para funciones de masa de probabilidad (argumento no negativo), de donde proviene el nombre. Pero no hay nada en la definición que asuma esto, ¡también puede usarse para cualquier variable aleatoria no negativa! Como ejemplo, tome la distribución exponencial con la tasa 1, podemos calcular que podría usarse para todos los propósitos, utilizamos la función de generación de momentos, y puede verificar que se cumplan las relaciones entre las dos funciones. Normalmente no hacemos esto, probablemente sea más práctico usar las mismas definiciones con variables (posiblemente) negativas y no negativas. Pero no es forzado por las matemáticas.

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$

Primero definamos ambos y luego especifiquemos la diferencia.

1) En la teoría de probabilidad y estadística, la función generadora de momento (mgf) de una variable aleatoria de valor real es una especificación alternativa de su distribución de probabilidad.

2) En la teoría de probabilidad, la función generadora de probabilidad (pgf) de una variable aleatoria discreta es una representación en serie de potencia (la función generadora) de la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria.

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Como señala @kjetilbhalvorsen, el pgf se aplica a variables aleatorias no negativas en lugar de solo discretas. Por lo tanto, la entrada actual de Wikipedia en la función de generación de probabilidad tiene un error de omisión y debe mejorarse.