Crear valores aleatorios auto correlacionados en R

Estamos tratando de crear valores aleatorios correlacionados automáticamente que se utilizarán como series de tiempo. No tenemos datos existentes a los que nos referimos y solo queremos crear el vector desde cero.

Por un lado, por supuesto, necesitamos un proceso aleatorio con distribución y su SD.

Por otro lado, debe describirse la autocorrelación que influye en el proceso aleatorio. Los valores del vector están autocorrelacionados con fuerza decreciente a lo largo de varios intervalos de tiempo. por ejemplo, lag1 tiene 0.5, lag2 0.3, lag1 0.1 etc.

Entonces, al final, el vector debería verse algo que: 2, 4, 7, 11, 10, 8, 5, 4, 2, -1, 2, 5, 9, 12, 13, 10, 8, 4, 3, 1, -2, -5

y así.

De hecho, a menudo me encuentro con ese problema. Mis dos formas favoritas de generar una serie temporal con autocorrelación en R dependen de si quiero un proceso estacionario o no.

Para una serie temporal no estacionaria, uso un movimiento browniano. Por ejemplo, para una longitud de 1000 hago:

x <- diffinv(rnorm(999))

Para una serie temporal estacionaria, filtro un ruido gaussiano. Por ejemplo, esto se ve así:

x <- filter(rnorm(1000), filter=rep(1,3), circular=TRUE)

En ese caso, la autocorrelación en el retraso es 0 si τ > 2 . En otros casos, tenemos que calcular la correlación entre sumas de variables. Por ejemplo para $\tau$$\tau > 2$ la covarianza es$\tau = 1$

$$Cov(X_1;X_2) = Cov(Y_1+Y_2+Y_3; Y_2+Y_3+Y_4) = Var(Y_2) + Var(Y_3) = 2.$$

Entonces ves que la autocovarianza cae linealmente hacia arriba hasta $n$ donde es la longitud del filtro.$n$

También puede querer hacer series de tiempo de memoria largas (como el movimiento browniano fraccional), pero esto es más complicado. Tengo una implementación R del método Davies-Harte que puedo enviarle si lo desea.

$R(\tau)$$\tau$ , puede formar la matriz de covarianza fácilmente,

$$\Sigma=\left[ \begin{array}{cccc} R(0) & R(1) & ... & R(N) \\ R(1) & R(0) & ... & R(N-1) \\ \vdots & \ddots & ... & \vdots \\ R(N) & R(N-1) & ... & R(0) \end{array} \right]$$

$\Sigma$

$$f(\vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}|\Sigma|^{1/2}}\text{exp}\left(-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^T\Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu})\right)\text{,}$$ $\vec{\mu}$

Puede generar una secuencia correlacionada mediante la construcción de un proceso autorregresivo. Por ejemplo, un proceso AR (1) $X(t)=a X(t-1) + e(t)$$e(0)$$X(0) = e(0)$$X(1)=a X(0) + e(1)$$e(i)$$X(i)$$e(i)$$e(i)$