La media geométrica es un estimador imparcial de la media de qué distribución continua?

¿Hay alguna distribución continua expresable en forma cerrada, cuya media es tal que la media geométrica de las muestras es un estimador imparcial para esa media?

Actualización: Acabo de darme cuenta de que mis muestras tienen que ser positivas (o de lo contrario la media geométrica puede no existir), por lo que quizás continua no sea la palabra correcta. ¿Qué tal una distribución que es cero para valores negativos de la variable aleatoria y es continua para valores positivos? Algo así como una distribución truncada.

distributions geometric-mean user53608
fuente

Una distribución puede ser continua mientras tiene un espacio muestral estrictamente positivo (por ejemplo, la distribución gamma).

Gammer 01 de

¿Te refieres también a un ejemplo donde la media geométrica de una muestra es un estimador imparcial del primer momento? Solo he visto la media geométrica de un conjunto discreto de datos definidos y una incertidumbre sobre cómo se definiría la media geométrica "verdadera" (es decir, a nivel de población) para una distribución continua ... Quizás ?

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

jugador

Funciona para la distribución lognormal.

Michael R. Chernick

Se cumple si la variable aleatoria es igual a alguna constante escalar positiva casi con seguridad . De otro modo no.

X

$X$

c

$c$

Matthew Gunn el

Respuestas:

Creo que está preguntando cuál es, si la hay, la distribución de un rv , de modo que, si tenemos una muestra iid de tamaño de esa distribución, mantendrá que $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

Debido a la suposición de iid , tenemos

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

y entonces preguntamos si podemos tener

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Pero por la desigualdad de Jensen, y el hecho de que la función de potencia es estrictamente convexa para potencias superiores a la unidad, tenemos eso, casi seguramente para una variable aleatoria no degenerada (no constante),

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Entonces no existe tal distribución.

Con respecto a la mención de la distribución logarítmica normal en un comentario, lo que vale es que la media geométrica ( ) de la muestra de una distribución logarítmica normal es un estimador sesgado pero asintóticamente consistente de la mediana . Esto se debe a que, para la distribución lognormal, sostiene que $GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

(donde y son los parámetros de la normalidad subyacente, no la media y la varianza de la log-normal). $\mu$ $\sigma$

En nuestro caso, entonces obtenemos $s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(lo que nos dice que es un estimador sesgado de la mediana). Pero

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

cual es la mediana de la distribución. También se puede demostrar que la varianza de la media geométrica de la muestra converge a cero, y estas dos condiciones son suficientes para que este estimador sea asintóticamente consistente: para la mediana,

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

Alecos Papadopoulos
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Tal vez debería agregarse que la desigualdad de Jensen, aplicada con una función estrictamente convexa, es una igualdad solo si es tan constante.

X

$X$

Olivier

@Olivier: Creo que es una propiedad suficientemente conocida que puede agregar desorden para incluirla. En cualquier caso , la desigualdad de Jensen ni siquiera es realmente necesaria ya que considerar el caso ya es suficiente junto con el hecho de que implica casi seguramente por un argumento aún más elemental.

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

cardenal

Este es un argumento similar a la excelente respuesta de Alecos, ya que la media aritmética, la desigualdad de la media geométrica es una consecuencia de la desigualdad de Jensen.

Sea la media aritmética: $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
Sea la media geométrica: $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

La media aritmética, la desigualdad media geométrica establece que con igualdad si y solo si cada observación es igual: . (La desigualdad AMGM es una consecuencia de la desigualdad de Jensen ). $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Caso 1: casi seguro $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Entonces . $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

En cierto sentido, este es un caso completamente degenerado.

Caso 2: para $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

Luego hay una probabilidad positiva de que la media geométrica sea más pequeña que la media aritmética. Dado que para todos los resultados y , entonces tenemos . $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

Matthew Gunn
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La media geométrica es un estimador imparcial de la media de qué distribución continua?

Respuestas:

Caso 1: casi seguroX1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

Caso 2: paraP(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

Caso 1: casi seguro $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Caso 2: para $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$