Contraejemplos donde la mediana está fuera [Modo-Media]

Este artículo está por encima de mi liga, pero habla sobre un tema que me interesa, la relación entre la media, la moda y la mediana. Dice :

Se cree ampliamente que la mediana de una distribución unimodal es "generalmente" entre la media y la moda. Sin embargo, esto no siempre es cierto ...

Mi pregunta : ¿alguien puede proporcionar ejemplos de distribuciones unimodales continuas (idealmente simples) donde la mediana está fuera del intervalo [mode, mean]? Por ejemplo, una distribución como mode < mean < median.

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Ya hay buenas respuestas de Glen_b y Francis, pero me di cuenta de que lo que realmente me interesa es un ejemplo donde mode <mean <mediana o mediana <mean <mode (es decir, la mediana está fuera [mode, mean] AND mediana es "en el mismo lado" como media del modo (es decir, tanto por encima como por debajo del modo)). ¿Puedo aceptar las respuestas aquí están abiertas una nueva pregunta o tal vez alguien puede sugerir una solución aquí directamente?

mean median mode Janthelme
fuente

No es problema extender la respuesta para cubrir el caso más restringido.

Glen_b -Reinstate Monica

Vea la figura 6 aquí: ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html que da un ejemplo de Weibull (continuo unimodal) donde la mediana no está entre el modo y la media.

Matthew Towers

Respuestas:

Claro, no es difícil encontrar ejemplos, incluso los unimodales continuos, donde la mediana no está entre la media y la moda.

Considere iid de una distribución triangular de la forma $T_1,T_2$ $f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

Ahora dejemos que sea una mezcla de y . $X$ $T_1$ $-4T_2$

La densidad de ve así: $X$

La media está por debajo de 0, el modo está en 0, pero la mediana está por encima de 0. Una modificación menor de esto daría un ejemplo donde incluso la densidad (en lugar de solo el cdf) era continua, pero la relación entre las medidas de ubicación era lo mismo (editar: ver 3. a continuación).
Generalizando, pongamos una proporción (con ) de la probabilidad total en el triángulo del lado derecho y una proporción en el triángulo del lado izquierdo (en lugar de 0.6 y 0.4 tuvimos antes). Además, haga el factor de escala en la mitad izquierda lugar de (con ): $p$ $0<p<1$ $(1-p)$ $-\beta$ $-4$ $\beta>0$

Ahora suponiendo que , la mediana siempre estará en el intervalo cubierto por el triángulo rectángulo, por lo que la mediana excederá el modo (que siempre permanecerá en ). En particular, cuando , la mediana estará en . $p>\frac12$ $0$ $p>\frac12$ $1-1/\sqrt{2p}$

La media estará en . $(p - \beta(1-p))/3$

Si entonces la media estará por debajo del modo, y si la media estará por encima del modo. $\beta>p/(1-p)$ $\beta< p/(1-p)$

Por otro lado, queremos que mantenga la media por debajo de la mediana. $(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

Considere ; Esto pone la mediana por encima del modo. $p=0.7$

Entonces satisfaría por lo que la media está por encima del modo. $\beta=2$ $\beta<p/(1-p)$

La mediana está en realidad en mientras que la media está en . Por lo tanto, para y , tenemos el modo <media <mediana. $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$ $\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$ $p=0.7$ $\beta=2$

(Nota: para mantener la coherencia con mi notación, la variable en el eje x para ambas gráficas debería ser lugar de pero no voy a volver y arreglarla). $x$ $t$
Este es un ejemplo donde la densidad misma es continua. Se basa en el enfoque en 1. y 2. anteriores, pero con el "salto" reemplazado por una pendiente pronunciada (y luego toda la densidad se volcó alrededor de 0 porque quiero un ejemplo que se vea sesgado a la derecha).

[Utilizando el enfoque de "mezcla de densidades triangulares", se puede generar como una mezcla de 3 variantes escaladas independientes de la forma triangular descrita en la sección 1. Ahora tenemos 15% , 60% y 25% .] $T_1$ $-3T_2$ $5T_3$

Como vemos en el diagrama anterior, la media está en el medio, según lo solicitado.

Tenga en cuenta que m_t_ menciona el Weibull en los comentarios (para los cuales la mediana está fuera del intervalo para un pequeño rango del parámetro de forma ). Esto es potencialmente satisfactorio porque es una distribución unimodal continua (y suave) bien conocida con una forma funcional simple. $[\text{mode},\text{mean}]$ $k$

En particular, para valores pequeños del parámetro de forma de Weibull, la distribución es sesgada a la derecha, y tenemos la situación habitual de mediana entre el modo y la media, mientras que para valores grandes del parámetro de forma de Weibull, la distribución es a la izquierda , y nuevamente tenemos esa situación de "mediana en el medio" (pero ahora con el modo a la derecha en lugar de la media). Entre esos casos, hay una pequeña región donde la mediana está fuera del intervalo de modo medio, y en el medio de eso, la media y el modo se cruzan:
```
      k                 order
 (0,3.2589)      mode < median < mean
  ≈ 3.2589       mode = median < mean
(3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
  ≈ 3.3215       median < mode = mean
(3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
  ≈ 3.4395       median = mean < mode
  3.4395+        mean < median < mode
  (≈3.60235      moment-skewness = 0)
```
Al elegir valores convenientes para el parámetro de forma en los intervalos marcados (1) y (2) anteriores, aquellos en los que los espacios entre las estadísticas de ubicación son casi iguales, obtenemos:

Si bien estos cumplen los requisitos, desafortunadamente los tres parámetros de ubicación están tan juntos que no podemos distinguirlos visualmente (todos caen en el mismo píxel), lo cual es un poco decepcionante: los casos de mis ejemplos anteriores son mucho más apartado. (Sin embargo, sugiere situaciones para examinar con otras distribuciones, algunas de las cuales podrían dar resultados que son visualmente más distintos).

Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

Eso funciona, gracias. Por curiosidad, ¿cuál sería una "distribución triangular" similar donde mode <mean <mediana? (aquí mediana <modo <media)

Janthelme

En realidad, en mi ejemplo original significa <modo <mediana; tenías las desigualdades al revés allí. Ahora he agregado un ejemplo similar donde la media está por encima del modo pero por debajo de la mediana (de hecho, simplemente podría haber reemplazado el original con digamos y mantener las proporciones de la mezcla en para la parte derecha y para el parte izquierda).

- 4 T_{2}

$-4T_2$

- 1.25 T_{2}

$-1.25T_2$

0.6

$0.6$

0.4

$0.4$

Glen_b -Reinstate Monica

El siguiente ejemplo está tomado de los contraejemplos de probabilidad de Jordan Stoyanov .

Dada la constante positiva y , considere una variable aleatoria con densidad La media , mediana modo de se puede encontrar como Nota es una densidad solo si Entonces, si dejamos entonces . Como resultado, si elegimos un que está cerca de $c$ $\lambda$ $X$

f (x) = {\begin{cases} c e^{- λ (x - c)}, & x \in (c, \infty) \\ x, & x \in (0, c] \\ 0, & x \in (- \infty, 0] . \end{cases}

$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$

μ

$\mu$

m

$m$

M

$M$

X

$X$

μ = \frac{c^{3}}{3} + \frac{c^{2}}{λ} + \frac{c}{λ^{2}}, m = 1, M = c .

$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$

f (x)

$f(x)$

\frac{c^{2}}{2} + \frac{c}{λ} = 1.

$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$

c \to 1

$c\to1$

λ \to 2

$\lambda\to2$

c > 1

$c>1$

1

$1$ (digamos ), podemos encontrar que y , por lo que la mediana no está comprendido entre y .

1.0001

$1.0001$

μ > c

$\mu>c$

M = c

$M=c$

m

$m$

μ

$\mu$

M

$M$

Francis
fuente

Tome la distribución exponencial con el parámetro de velocidad a y la densidad a exp (-ax) para 0 <= x <infinito. El modo está en cero. Por supuesto, la media y la mediana son mayores que 0. El cdf es 1-exp (-ax). Entonces, para la mediana, resuelva para exp (-ax) = 0.5 para x. Entonces -ax = ln (0.5) o x = -ln (0.5) / a. Para la media integrar ax exp (-ax) de 0 a infinito. Tome a = 1 y tenemos una mediana = -ln (0.5) = ln (2) y media = 1.

Entonces modo <mediana <media.

Michael R. Chernick
fuente

Lo sentimos, pero ¿no estamos buscando distribuciones donde mode <mean <mediana (o más generalmente donde mediana está fuera [mode, average])?

Janthelme

Perdón por la confusión, agregué a la pregunta original, pero lo que estaba preguntando originalmente es ejemplos donde la mediana está fuera [mode, mean] mientras que creo que la mediana está dentro [mode, mediana] en su ejemplo.

Janthelme

Michael, la pregunta no pide un caso en el que la mediana se encuentre entre la moda y la media. Citas incorrectamente el original en tu comentario justo encima de este; la pregunta no dice "modo <mediana <media" donde usted afirma que sí (y nunca lo ha hecho en ningún momento del historial de edición) Como resultado, su respuesta proporciona un caso que no se solicita; de hecho esa es la situación habitual (mediana en el medio de las otras dos) de la cual la pregunta busca excepciones. Casi cualquier distribución unimodal sesgada bien conocida tiene la mediana en el medio: el truco es encontrar las que no hacen eso.

Glen_b -Reinstale a Monica el

El historial de edición está disponible haciendo clic en el enlace rojo en la parte inferior de la pregunta donde dice actualmente "editado hace 18 horas" (cambió a 19 mientras escribía estos comentarios). Puede ver el historial de ediciones haciendo clic allí. La pregunta se publicó hace 22 horas (mientras escribo esto ahora), y cuando hace clic en el historial de edición, la pregunta original se puede ver en la parte inferior con la etiqueta "1". Su respuesta apareció aproximadamente 2 horas después (hace 20 horas), cuando eso era lo que la pregunta aún decía. Aproximadamente 1-2 horas después de su publicación, el OP editó su pregunta una vez, que se puede ver ...

Glen_b -Reinstate Monica

ctd ... en la parte superior del historial de edición ... Hay una ventana de dos minutos después de cada edición para realizar cambios que cuentan como parte de esa edición (es decir, hace 22 horas y hace 18-19 horas hubo un minuto cada vez que digamos que se ha solucionado un error tipográfico), pero hace ~ 20 horas cuando publicó, la pregunta no se modificó durante aproximadamente 2 horas, y se mantuvo sin cambios durante más de una hora después de la publicación, cuando se realizó una edición importante ( se muestra en el historial de edición). Cualquier edición fuera de esas breves ventanas de dos minutos posteriores a la edición estaría en el historial de edición.

Glen_b: reinstala a Mónica el