¿Pueden dos variables aleatorias tener la misma distribución y, sin embargo, ser casi seguramente diferentes?

¿Es posible que dos variables aleatorias tengan la misma distribución y, sin embargo, casi seguramente sean diferentes?

Deje que y definir Y = - X . Es fácil demostrar que Y ∼ N ( 0 , 1 ) .$X\sim N(0,1)$$Y=-X$$Y\sim N(0,1)$

Pero

Por lo tanto, e Y son diferentes con probabilidad uno.$X$$Y$

Cualquier par de variables aleatorias independientes e Y que tengan la misma distribución continua proporciona un contraejemplo.$X$$Y$

De hecho, dos variables aleatorias que tienen la misma distribución ni siquiera se definen necesariamente en el mismo espacio de probabilidad, por lo tanto, la pregunta no tiene sentido en general.

Solo considere e Y ( x ) = 1 - x con x ∈ [ 0 , 1 ] con la medida de Borel o Lebesgue. Para ambos, la probabilidad acumulada es F ( x ) = x y la distribución de probabilidad es f ( x ) = 1 . Para la suma X + Y, la distribución es una unidad de masa de Dirac en x = 1 .$X(x)=x$$Y(x)=1-x$$x \in [0,1]$$F(x)=x$$f(x)=1$$X+Y$$x=1$