¿Valor esperado de la razón de variables aleatorias correlacionadas?

Para las variables aleatorias independientes y , ¿existe una expresión de forma cerrada para$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

en términos de los valores esperados y las variaciones de y ? Si no, ¿hay un límite inferior bueno en esa expectativa?$\alpha$$\beta$

Actualización: también puedo mencionar que y . Puedo controlar la variación en y , y tengo en mente una configuración en la que las variaciones de y son bastante pequeñas en relación con . Tal vez sus dos desviaciones estándar son menores a 0.3.$\mathbb E[\alpha] = 1$$\mathbb E[\beta] = 0$$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$\mathbb E[\alpha]$

Pensé en un límite inferior, aunque no creo que sea muy ajustado. Solo elijo un valor arbitrario menor que la media de y otro valor arbitrario alrededor de la media de . Como la expectativa es de una variable aleatoria no negativa, y porque y son independientes,$\alpha$$\beta^2$$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Por la desigualdad de Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Por la desigualdad de Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Por lo tanto,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

¿Es una forma más estándar / sistemática de hacer lo que estoy haciendo aquí, que tiene un límite más ajustado?