¿Por qué la ley de los grandes números no se aplica en el caso del precio de las acciones de Apple?

Aquí está el artículo en tiempos de Nueva York llamado "Apple confronta la ley de grandes números" . Intenta explicar el aumento del precio de las acciones de Apple usando la ley de grandes números. ¿Qué errores estadísticos (o matemáticos) comete este artículo?

Aquí está el problema: Apple es tan grande que va en contra de la ley de grandes números.

También conocido como el teorema de oro, con una prueba atribuida al matemático suizo del siglo XVII Jacob Bernoulli, la ley establece que una variable revertirá a una media sobre una gran muestra de resultados. En el caso de las compañías más grandes, sugiere que el alto crecimiento de las ganancias y un rápido aumento en el precio de las acciones disminuirán a medida que esas compañías crezcan aún más.

¡Este revoltijo confuso en realidad se refiere a tres fenómenos diferentes!

1. Las (diversas) Leyes de los números grandes son fundamentales en la teoría de la probabilidad para caracterizar situaciones en las que es razonable esperar que las muestras grandes proporcionen cada vez mejor información sobre un proceso o población que se muestrea. De hecho, Jacob Bernoulli fue el primero en reconocer la necesidad de enunciar y probar dicho teorema, que apareció en su póstumo Ars Conjectandi en 1713 (editado por el sobrino Nicholas Bernoulli).

   No existe una aplicación válida aparente de dicha ley para el crecimiento de Apple.

2. La regresión hacia la media fue reconocida por primera vez por Francis Galton en la década de 1880. Sin embargo, a menudo se ha subestimado entre los analistas de negocios. Por ejemplo, a principios de 1933 (durante las profundidades de una Gran Depresión), Horace Secrist publicó su obra magna, El triunfo de la mediocridad en los negocios. En él, examinó copiosamente series temporales de negocios y encontró, en todos los casos, evidencia de regresión hacia la media. Pero, al no reconocer esto como una matemática ineludiblefenómeno, sostuvo que había descubierto una verdad básica del desarrollo empresarial! Esta falacia de confundir un patrón puramente matemático con el resultado de alguna fuerza o tendencia subyacente (ahora a menudo llamada "falacia de regresión") recuerda el pasaje citado.

   (Cabe destacar que Secrist fue un destacado estadístico, autor de uno de los libros de texto de estadísticas más populares publicados en ese momento. En JSTOR, puede encontrar una crítica lacerante de Triumph ... por Harold Hotelling publicado en JASA a fines de 1933. En Un posterior intercambio de cartas con Secrist, escribió Hotelling

   Mi revisión ... se dedicó principalmente a advertir a los lectores que no llegaran a la conclusión de que las empresas comerciales tienden a volverse mediocres ... Para "probar" un resultado tan matemático mediante un estudio numérico costoso y prolongado ... es análogo a probar la multiplicación organice los elefantes en filas y columnas, y luego haga lo mismo para muchos otros tipos de animales. La actuación, aunque tal vez entretenida y con cierto valor pedagógico, no es una contribución importante ni a la zoología ni a las matemáticas.

   [JASA vol. 29, núm. 186 (junio de 1934), págs. 198 y 199].)

   El pasaje del NY Times parece cometer el mismo error con los datos comerciales de Apple.

3. Sin embargo, si seguimos leyendo el artículo, pronto descubriremos el significado previsto del autor:

   Si el precio de las acciones de Apple creciera incluso un 20 por ciento anual durante la próxima década, que está muy por debajo de su ritmo vertiginoso actual, su capitalización de mercado de $ 500 mil millones sería de más de $ 3 billones para 2022.

   Esto, por supuesto, es una declaración sobre la extrapolación del crecimiento exponencial. Como tal, contiene ecos de las predicciones de la población maltusiana . Sin embargo, los riesgos de la extrapolación no se limitan al crecimiento exponencial. Mark Twain (Samuel Clements) ridiculizó extrapoladores sin sentido en Life on the Mississippi (1883, capítulo 17):

   Ahora, si quisiera ser una de esas pesadas personas científicas y 'demostrar' lo que ocurrirá en el futuro lejano por lo que ocurrió en los últimos años, ¡qué oportunidad hay aquí! ... Por favor observe: -

   En el espacio de ciento setenta y seis años, el Bajo Mississippi se ha reducido doscientas cuarenta y dos millas. Eso es un promedio de un poco más de una milla y un tercio por año. Por lo tanto, cualquier persona tranquila, que no sea ciega o idiota, puede ver que en el "Antiguo Período Silúrico Oolítico", hace apenas un millón de años el próximo noviembre, el Bajo Río Mississippi tenía más de un millón trescientas mil millas de largo, y se atascó sobre el golfo de México como una caña de pescar. Y de la misma manera, cualquier persona puede ver que setecientos cuarenta y dos años a partir de ahora, el Bajo Mississippi tendrá solo una milla y tres cuartos de largo, y El Cairo y Nueva Orleans se habrán unido a sus calles y caminarán cómodamente bajo un alcalde único y una junta mutua de concejales. Hay algo fascinante en la ciencia.Uno obtiene tales retornos de conjetura al por mayor de una inversión de hecho tan insignificante. "

   (Énfasis agregado.) La sátira de Twain se compara favorablemente con la cita del artículo del analista de negocios Robert Cihra:

   Si extrapola lo suficiente en el futuro, para sostener ese crecimiento, Apple tendría que vender un iPhone a cada hombre, mujer, niño, animal y roca del planeta.

   (Desafortunadamente, parece que Cihra no hace caso a su propio consejo: califica esta acción como una "compra". Puede que tenga razón, no por los méritos, sino en virtud de la teoría del gran tonto ).

Si consideramos que el artículo significa "cuidado con extrapolar el crecimiento anterior hacia el futuro", obtendremos mucho de él. Los inversores que piensan que esta compañía es una buena compra porque su índice de PE es bajo (que incluye varios de los administradores de dinero notables citados en el artículo) no son mejores que las "personas científicas pesadas" que Twain ensartó hace más de un siglo.

Un mejor conocimiento de Bernoulli, Hotelling y Twain habría mejorado la precisión y la legibilidad de este artículo, pero al final parece haber entendido bien el mensaje.

Con bastante humor, acabo de escribir una publicación de blog sobre este mismo tema: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

Esencialmente, la Ley de Grandes Números es que a medida que aumenta el número de ensayos de un proceso aleatorio, la media de esos ensayos se acercará a la media real (o expectativa, para distribuciones más complejas). Entonces, si lanzas una moneda una vez y obtienes caras, tu probabilidad de caras = 1.0, a medida que lanzas más y más monedas, te acercarás cada vez más a 0.50.

El autor argumenta que Apple tendrá problemas en el futuro debido a algo que en realidad no está relacionado en absoluto con la Ley de Grandes Números. Es decir, que a medida que Apple crece, el mismo% de aumento en el precio de las acciones, ganancias, etc., es más difícil de alcanzar en términos absolutos en dólares. Básicamente, para mantenerse en curso, Apple tiene que obtener éxitos cada vez más grandes.

Vincular eso con el comportamiento de un proceso aleatorio que converge en una media requiere cierta gimnasia mental seria . Por lo que puedo decir, la afirmación es que "La genialidad de sus productos" es un proceso aleatorio, y aunque Apple ha tenido una racha de "Superior a la media" increíble, eventualmente tendrán que converger hacia un medio de "Medio" ". Pero eso es ser realmente caritativo para el autor.

El hecho de que 500 mil millones es un gran número no significa que la "Ley de los grandes números" es lo que está actuando en consecuencia.

No hay ninguna razón para pensar que los sorteos del precio de las acciones a lo largo del tiempo para una empresa en particular representan variables aleatorias independientes, distribuidas de manera idéntica.