¿Cuál es la distribución de las medias muestrales de una distribución Cauchy?

Típicamente, cuando se toman promedios de muestra aleatorios de una distribución (con un tamaño de muestra mayor que 30), se obtiene una distribución normal centrada en el valor medio. Sin embargo, escuché que la distribución de Cauchy no tiene valor medio. ¿Qué distribución obtiene uno al obtener medias de muestra de la distribución de Cauchy?

Básicamente para una distribución de Cauchy no está definida, entonces, ¿qué es μ ˉ x y cuál es la distribución de ˉ x ?$\mu_x$$\mu_{\bar{x}}$$\bar{x}$

Si $X_1, \ldots, X_n$ son iid Cauchy $(0, 1)$ entonces podemos mostrar que $\bar{X}$ también es Cauchy $(0, 1)$ usando un argumento de función característica:

$$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$$

cuál es la función característica de la distribución estándar de Cauchy. La prueba del caso Cauchy $(\mu, \sigma)$ más general es básicamente idéntica.

Típicamente, cuando se toman promedios de muestra aleatorios de una distribución (con un tamaño de muestra mayor que 30), se obtiene una distribución normal centrada en el valor medio.

$X_n$$μ$$\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$$n$

Sin embargo, escuché que la distribución de Cauchy no tiene valor medio. ¿Qué distribución obtiene uno al obtener medias de muestra de la distribución de Cauchy?

Como dijo GeoMatt22, los medios de muestra serán distribuidos por Cauchy. En otras palabras, la distribución de Cauchy es una distribución estable .

Observe que el teorema del límite central no se aplica a las variables aleatorias distribuidas de Cauchy porque no tienen media y varianza finitas.