MLE del parámetro de ubicación en una distribución de Cauchy

Después de centrar, se puede suponer que las dos mediciones x y −x son observaciones independientes de una distribución de Cauchy con función de densidad de probabilidad:

$f(x :\theta) =$ ,-∞<x<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Muestre que si el MLE de θ es 0, pero si x 2 > 1 hay dos MLE de θ , igual a ± $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

Creo que para encontrar el MLE tengo que diferenciar la probabilidad de registro:

=∑2(xi-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2(-x-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ +2(x-θ$2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Entonces,

=2(x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

que luego simplifiqué a

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Ahora he golpeado una pared. Probablemente me haya equivocado en algún momento, pero de cualquier manera no estoy seguro de cómo responder la pregunta. ¿Alguien puede ayudar?

Hay un error tipográfico matemático en sus cálculos. La condición de primer orden para un máximo es:

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

$x^2\leq 1$$\hat \theta =0$

Si $x^2 >1$ tienes $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ entonces, aparte del punto candidato $\theta =0$ también obtienes

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

También tienes que justificar por qué en este caso $\hat \theta =0$ ya no es un MLE.

APÉNDICE

por $x =\pm 0.5$ la gráfica del log-verosimilitud es

mientras que para $x =\pm 1.5$ la gráfica de la probabilidad logarítmica es,

Ahora todo lo que tiene que hacer es demostrarlo algebraicamente y luego preguntarse "¿Bien, cuál de los dos debería elegir?"