¿Cómo se relaciona el valor esperado con la media, la mediana, etc. en una distribución no normal?

¿Cómo se relaciona el valor esperado de una variable aleatoria continua con su media aritmética, mediana, etc. en una distribución no normal (p. Ej., Skew-normal)? Estoy interesado en cualquier distribución común / interesante (por ejemplo, log-normal, distribuciones bi / multimodales simples, cualquier otra cosa extraña y maravillosa).

Estoy buscando principalmente respuestas cualitativas, pero cualquier respuesta cuantitativa o formulada también es bienvenida. En particular, me gustaría ver cualquier representación visual que lo haga más claro.

(parcialmente convertido de mi comentario ahora eliminado arriba)

El valor esperado y la media aritmética son exactamente lo mismo. La mediana está relacionada con la media de una manera no trivial, pero puede decir algunas cosas sobre su relación:

• cuando una distribución es simétrica, la media y la mediana son iguales

• cuando una distribución está sesgada negativamente, la mediana suele ser mayor que la media

• cuando una distribución está sesgada positivamente, la mediana suele ser menor que la media

Existe una buena relación entre la media armónica, geométrica y aritmética de una variable aleatoria de distribución logarítmica normal . Dejar$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• (media armónica),$\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$
• (media geométrica),$\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$
• (media aritmética).$\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$

No es difícil ver que el producto de la media armónica y aritmética produce el cuadrado de la media geométrica, es decir

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

$X$$X$$X$

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

Además, la conocida desigualdad HM-GM-AM

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

puede expresarse como

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

Para completar, también hay distribuciones para las cuales la media no está bien definida. Un ejemplo clásico es la distribución de Cauchy ( esta respuesta tiene una buena explicación de por qué). Otro ejemplo importante es la distribución de Pareto con exponente menor que 2.

Si bien es correcto que la media matemática y el valor esperado se definan de manera idéntica, para una distribución sesgada, esta convención de nomenclatura se vuelve engañosa.

Imagina que le preguntas a una amiga sobre los precios de la vivienda en su ciudad porque realmente te gusta y piensas en mudarte a esa ciudad.

Si la distribución de los premios de vivienda fue unimodal y simétrica, entonces su amigo puede decirle el precio promedio de las casas y, de hecho, puede esperar encontrar la mayoría de las casas en el mercado alrededor de ese valor promedio .

Sin embargo, si la distribución de los precios de la vivienda es unimodal y sesgada, por ejemplo, con la mayoría de las casas en el rango de precios más bajo a la izquierda y solo algunas casas exorbitantes a la derecha, entonces la media estará "sesgada" a precios altos en la derecha.

Para esta distribución unimodal y sesgada del precio de la vivienda, puede esperar encontrar la mayoría de las casas en el mercado alrededor de la mediana .