¿Alguien puede ayudar a explicar la diferencia entre independiente y aleatorio?

En estadística, ¿independiente y aleatorio describen las mismas características? ¿Cual es la diferencia entre ellos? A menudo nos encontramos con la descripción como "dos variables aleatorias independientes" o "muestreo aleatorio". Me pregunto cuál es la diferencia exacta entre ellos. ¿Alguien puede explicar esto y dar algunos ejemplos? por ejemplo, proceso no independiente pero aleatorio?

Trataré de explicarlo en términos no técnicos: una variable aleatoria describe el resultado de un experimento; no puede saber de antemano cuál será el resultado exacto, pero tiene cierta información: sabe qué resultados son posibles y sabe, para cada resultado, su probabilidad.

Por ejemplo, si arroja una moneda justa, entonces no sabe de antemano si obtendrá cabeza o cola, pero sabe que estos son los posibles resultados y sabe que cada uno tiene un 50% de posibilidades de que ocurra.

Para explicar la independencia, debes lanzar dos monedas justas. Después de lanzar la primera moneda, sabes que para el segundo lanzamiento las probabilidades de la cabeza siguen siendo del 50% y también para la cola. Si el primer lanzamiento no tiene influencia en las probabilidades del segundo, ambos lanzamientos son independientes. Si el primer lanzamiento influye en las probabilidades del segundo lanzamiento, entonces son dependientes.

Un ejemplo de lanzamientos dependientes es cuando pega las dos monedas juntas.

Aleatorio se relaciona con la variable aleatoria , e independiente se relaciona con la independencia probabilística. Por independencia queremos decir que observar una variable no nos dice nada sobre la otra, o en términos más formales, si e Y son dos variables aleatorias, entonces decimos que son independientes si$X$$Y$

además

y su covarianza es cero. La variable aleatoria depende de X si se puede escribir en función de $Y$$X$$X$

Así que en este caso es aleatorio y depende de X .$Y$$X$

Llamar al proceso "no independiente" es bastante engañoso, ¿independiente de qué? Supongo que quisiste decir que hay algunas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (verifica aquí o aquí ) que provienen de algún proceso. Por independiente queremos decir aquí que son independientes entre sí. Hay procesos que producen variables aleatorias dependientes, p. Ej.$X_1,\dots,X_k$

donde es un poco de ruido aleatorio. Obviamente, en tal caso, X i depende de X i - 1 , pero también es aleatorio.$\varepsilon$$X_i$$X_{i-1}$

Las variables se usan en todos los campos de las matemáticas. Las definiciones de independencia y aleatoriedad de una variable se aplican unilateralmente a todas las formas de las matemáticas, no solo a las estadísticas.

Por ejemplo, los ejes X e Y en geometría euclidiana bidimensional representan variables independientes, sin embargo, sus valores no (generalmente) se asignan al azar.

Dos variables dadas pueden ser aleatorias, o independientes (una de otra), o ambas, o ninguna. Las estadísticas tienden a centrarse en la aleatoriedad (más correctamente, en la probabilidad), y si dos variables son independientes o no puede tener muchas implicaciones para las probabilidades de que se observen resultados dados.

Se tiende a ver estas dos propiedades (independencia y aleatoriedad) descritas juntas al estudiar estadísticas, porque ambas son importantes para conocer y pueden influir en la respuesta a la pregunta en cuestión. Sin embargo, estas propiedades no son sinónimos, y en otros campos de las matemáticas no necesariamente ocurren juntas.

La noción de independencia es relativa, mientras que usted puede ser aleatorio por sí mismo. En su ejemplo, tiene "dos variables aleatorias independientes" y no necesita hablar sobre varias "muestras aleatorias".

Supongamos que lanzas un dado perfecto varias veces. El resultado es a priori aleatorio. Conociendo el pasado, no puedes predecir el número siguiente 4. Supón que genero una secuencia desde el otro lado del dado: 6 → 1 , 3 → 4 . Me sale 1 , 2 , 4 , 2 , 3 ... . Es tan aleatorio como el primero. No puedes adivinar lo que viene después de 3 . Pero las dos secuencias son completamente dependientes.$6,5,3,5, 4\ldots$$6\to1$$3\to4$$1,2,4,2, 3\ldots$$3$

Si uno lanza dos dados en paralelo (sin interacciones entre ellos), sus secuencias respectivas serán aleatorias e independientes.

Cuando tiene un par de valores cuando el primero se genera aleatoriamente y el segundo depende del primero. Por ejemplo, altura y peso de un hombre. Hay correlación entre ellos. Pero ambos son al azar.

El ejemplo de la moneda es una gran ilustración de una variable aleatoria e independiente, una buena manera de pensar en una variable aleatoria pero dependiente sería la siguiente carta extraída de un juego de naipes de siete mazos, la probabilidad de cualquier resultado numérico específico cambia dependiendo de las cartas previamente repartidas, pero hasta que solo quede un valor de tarjeta en el zapato, el valor de la carta que sigue será aleatorio.

David Bohm en su trabajo Causality and Chance in Modern Physics (Londres: Routledge, 1957/1984) describe la causalidad, el azar, la aleatoriedad y la independencia:

"En la naturaleza, nada permanece constante. Todo está en un perpetuo estado de transformación, movimiento y cambio. Sin embargo, descubrimos que nada simplemente surge de la nada sin tener antecedentes que existían antes. Del mismo modo, nada desaparece sin dejar rastro, en la sensación de que da lugar a absolutamente nada que exista en épocas posteriores ... todo proviene de otras cosas y da lugar a otras cosas. Este principio aún no es una declaración de la existencia de causalidad en la naturaleza. Para llegar a la causalidad, el siguiente paso es observar que a medida que estudiamos los procesos que tienen lugar en una amplia gama de condiciones, descubrimos que dentro de toda la complejidad del cambio y la transformación hay relacionesque permanecen efectivamente constantes. .... En este punto, sin embargo, nos encontramos con un nuevo problema. Porque la necesidad de una ley causal nunca es absoluta. Por lo tanto, vemos que uno debe concebir la ley de la naturaleza como necesaria solo si se abstrae de las contingencias , representando factores esencialmente independientes que pueden existir fuera del alcance de las cosas que pueden ser tratadas por las leyes bajo consideración y que no se siguen necesariamente de cualquier cosa que pueda especificarse en el contexto de estas leyes. Tales contingencias conducen al azar "(pp. 1-2)

"La tendencia de las contingencias que se encuentran fuera de un contexto dado a fluctuar independientemente de los acontecimientos dentro de ese contexto ha demostrado ser tan generalizada que uno puede enunciarlo como un principio; es decir, el principio de aleatoriedad. Por aleatoriedad queremos decir solo que esta independencia conduce a la fluctuación de estas contingencias de una manera muy complicada en una amplia gama de posibilidades, pero de tal manera que los promedios estadísticos tengan un comportamiento regular y aproximadamente predecible ". (p.22)