Son las variables aleatorias

¿Podemos decir algo sobre la dependencia de una variable aleatoria y una función de una variable aleatoria? Por ejemplo, ¿ $X^2$ depende de $X$ ?

Aquí hay una prueba del comentario de @ cardinal con un pequeño giro. Si y f ( X ) son independientes entonces P ( X ∈ A ∩ f - 1 ( B ) ) = P ( X ∈ A , f ( X ) ∈ B $X$$f(X)$ Al tomarA=f-1(B) seobtiene la ecuación P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2, que tiene las dos soluciones 0 y 1. Por lo tanto,P(f(X

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ $A = f^{-1}(B)$ $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ para todos B . En general, no es posible decir más. Si X y f ( $P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$$B$$X$ son independientes, entonces f ( X ) es una variable tal que para cualquier B está en B o en B c con probabilidad 1. Para decir más, uno necesita más suposiciones, por ejemplo, que ese singleton establece { b } son medibles.$f(X)$$f(X)$$B$$B$$B^c$$\{b\}$

Sin embargo, los detalles en el nivel teórico de la medida no parecen ser la principal preocupación del OP. Si es real yf es una función real (y usamos el álgebra Borel σ , por ejemplo), entonces tomar B = $X$$f$$\sigma$ se deduce que la función de distribución para la distribución de f ( X ) solo toma valores 0 y 1, por lo tanto hay una$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$ en la que salta de a 1 y P ( f ( X ) = b ) = $0$$1$$P(f(X) = b) = 1$.

Al final del día, la respuesta a la pregunta de los OP es que y f ( X ) son generalmente dependientes y solo independientes en circunstancias muy especiales. Además, la medida de Dirac δ f ( x ) siempre califica para una distribución condicional de $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$ dado X = x , que es una forma formal de decir que conociendo X = x , también se sabe exactamente qué f ( X $f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$es. Esta forma especial de dependencia con una distribución condicional degenerada es característica de funciones de variables aleatorias.

Lema : Let una variable aleatoria y dejar que f sea un (Borel medible) función tal que X y f ( X ) son independientes. Entonces f ( X ) es constante casi con seguridad. Es decir, hay alguna a ∈ R tal que P ( f ( X ) = a ) = 1 .$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

La prueba está abajo; pero, primero, algunas observaciones. La mensurabilidad de Borel es solo una condición técnica para garantizar que podamos asignar probabilidades de una manera razonable y consistente. La declaración "casi segura" también es solo un tecnicismo.

La esencia del lema es que si queremos y f ( $X$ sean independientes, entonces nuestros únicos candidatos son funciones de la forma f ( x ) = a .$f(X)$$f(x) = a$

Contrasta esto con el caso de funciones tal que X y f ( X ) son correlacionados . Esta es una condición mucho, mucho más débil. De hecho, considere cualquier variable aleatoria X con media cero, tercer momento absoluto finito y que sea simétrica con respecto a cero. Tome f ( x ) = x 2 , como en el ejemplo de la pregunta. Entonces C o v ( $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$ , entonces X y f ( X ) = X 2 no están correlacionados.$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

A continuación, doy la prueba más simple que pude encontrar para el lema. Lo hice extremadamente detallado para que todos los detalles sean lo más obvios posible. Si alguien ve maneras de mejorarlo o simplificarlo, me encantaría saberlo.

Idea de prueba : Intuitivamente, si conocemos , entonces sabemos f ( X ) . Entonces, necesitamos encontrar algún evento en σ ( X ) , el álgebra sigma generado por X , que relacione nuestro conocimiento de X con el de f ( X ) . Luego, usamos esa información junto con la supuesta independencia de X y$X$$f(X)$$\sigma(X)$$X$$X$$f(X)$$X$ para demostrar que nuestras opciones disponibles para f se han limitado gravemente.$f(X)$$f$

Prueba de lema : recuerde que e Y son independientes si y solo si para todos A ∈ σ ( X ) y B ∈ σ ( Y ) , P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = P ( X ∈ A ) P ( Y ∈ B ) . Deje Y = f ( X ) para alguna función medible de Borel $X$$Y$$A \in \sigma(X)$$B \in \sigma(Y)$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$$Y = f(X)$$f$ que e Y sean independientes. Definir A ( y $X$$Y$ . Entonces, A ( y ) = { ω : X ( ω ) ∈ f - 1 ( ( - ∞ , y ] ) } y desde ( - ∞ , y $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ $(-\infty,y]$ es un conjunto de Borel es medible por Borel, entonces f - 1 ( ( - ∞ , y ] $f$$f^{-1}((-\infty,y])$ es también un conjunto Borel. Esto implica que (pordefinición(!) de σ ( X ) ).$A(y) \in \sigma(X)$$\sigma(X)$

$X$$Y$$A(y) \in \sigma(X)$

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ $y \in \mathbb R$$A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.