La forma más fácil de encontrar ?

Considere 3 muestras de iid extraídas de la distribución uniforme , donde es el parámetro. Quiero encontrar donde es la estadística de orden .$u(\theta, 2\theta)$$\theta$

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$$ $X_{(i)}$$i$

Esperaría que el resultado sea Pero la única forma en que puedo mostrar este resultado parece ser también largo, no puedo encontrar una solución simple, me estoy perdiendo algo, ¿hay algún atajo?

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$$

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Lo que hago es lo siguiente:

• Encuentro la densidad condicional

  $$f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$$

• Integro

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$$

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Detalles:

Adopto una fórmula general para la densidad de la estadística de orden (con un indicador del conjunto )$\mathbb{I}_{\{A\}}$$A$

$$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$$

para obtener para mi caso

$$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$$

marginal de es$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$$

es decir

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$$

por eso

$$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$$

lo que da

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$$

Debido a que tiene una distribución uniforme, todas las variables (desordenadas) se suponen independientes, y ninguna otra estadística de orden se encuentra entre y , tiene una distribución uniforme truncada admitido en el intervalo . Su media obviamente es , QED.$X_i$$X_{(1)}$$X_{(3)}$ $X_{(2)}$$[X_{(1)}, X_{(3)}]$$(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

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Si desea una demostración formal, tenga en cuenta que cuando los encuentran con una distribución absolutamente continua , la densidad condicional de (condicional en todas las demás estadísticas de orden) es , que es la distribución truncada. (Cuando , se toma como ; y cuando , se toma como ) Esto se deduce del pdf conjunto de funciones de orden estadísticas , por ejemplo, junto con la definición de densidades condicionales.$X_i$$F$$X_{(k)}$$dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$$k=1$$F(x_{0})$$0$$k=n$$F(x_{n+1})$$1$