Media de distribución exponencial inversa

Dada una variable aleatoria , ¿cuál es la media y la varianza de ?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Miro la distribución gamma inversa, pero la media y la varianza solo se definen para y respectivamente ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Dado que la distribución exponencial inversa tiene , se ha topado con el hecho de que la media del exponencial inverso es . Y por lo tanto, la varianza de la exponencial inversa no está definida.$\alpha = 1$$\infty$

Si está inversamente distribuido exponencialmente, existe y es finito para , y para .$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Mostraré el cálculo de la media de una distribución exponencial para que le recuerde el enfoque. Luego, elegiré el exponencial inverso con el mismo enfoque.

Dado$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Integrando por parte (ignore la frente a la integral por el momento),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Multiplique por delante de la integral,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Evalúe para y ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Que es un resultado conocido.

Para , se aplica la misma lógica.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

La principal diferencia es que para una integración por partes,

$u = y^{-1}$

y

$du = -1y^{-2}$

entonces no nos ayuda para . Creo que la integral no está definida aquí. Wolfram alpha me dice que no converge.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Por lo tanto, la media no existe para el exponencial inverso, o, de manera equivalente, para el gamma inverso con . La razón es similar para la varianza y .$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Después de una simulación rápida (en R), parece que la media no existe:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

En aras de la comparación, esto es lo que sucede con una variable aleatoria exponencial genuina.